Αλγεβρικές Δομές ΙΙ

Η σύγχρονη Αλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών, και όχι μόνον, χρειάζονται τα αποτελέσματα της Αλγεβρας, αλλά και διότι η Αλγεβρα προσφέρει κομψές και αποτελεσματικές τεχνικές στην επίλυση προβλημάτων. Αυτό επιτυγχάνεται μέσα από την αφηρημένη προσέγγιση, και την αξιωματική μεθοδολογία. Θα πρέπει, όμως, να έχουμε πάντοτε υπόψη ότι η αξιωματική μεθοδολογία έχει να κάνει περισσότερο με την οργάνωση, και όχι με την ουσία της Αλγεβρας.
Δεν υπάρχει αμφιβολία, ότι πολλοί φοιτητές συναντούν δυσκολίες από την πρώτη τους επαφή με την Αλγεβρα. Οι δυσκολίες αυτές έχουν πολλές αιτίες, αλλά οι κυριότερες είναι δύο. Πρώτη είναι η αλλαγή της έμφασης από την αλγοριθμική προσέγγιση της μέσης εκπαίδευσης, σε μια περισσότερο αυστηρή και αφηρημένη προσέγγιση. Η αφηρημένη προσέγγιση δεν γίνεται μόνο για λόγους γενικότητας, αλλά κυρίως διότι διαπιστώθηκε ότι αυτού του είδους η προσέγγιση προσφέρει τις κομψές και αποτελεσματικές τεχνικές επίλυσης προβλημάτων, που προαναφέρθηκαν. Μια δεύτερη αιτία είναι ο αυξημένος ρυθμός της παρουσίασης του αντικειμένου, που συναντά κανείς σε κάθε πανεπιστήμιο, σε σχέση με τον ρυθμό παρουσίασης στη μέση εκπαίδευση. Οποιαδήποτε και αν είναι η αιτία, οι δυσκολίες αυτές αποθαρρύνουν αρκετούς φοιτητές από την περαιτέρω ενασχόληση με την Αλγεβρα, με αποτέλεσμα, και αυτό είναι λυπηρό, να χάνουν μια από τις ομορφότερες περιοχές των μαθηματικών.
Ακριβώς για το λόγο αυτό, ίσως συγχωρεθούν κάποιες συμβουλές, όσον αφορά τη μελέτη της Αλγεβρας. Καταρχήν σηκωθείτε από την πολυθρόνα, πάρτε μολύβι και χαρτί, και καθίστε στο γραφείο σας. Τα μαθηματικά, και πολύ περισσότερο η Αλγεβρα, δεν διαβάζονται σαν μυθιστόρημα, απαιτούν τη συμμετοχή μας. Αν συναντήσετε μια δυσκολία, και σας φαίνεται ανυπέρβλητη, μη διστάσετε να προχωρήσετε παρακάτω. Μερικές φορές συνεχίζοντας τη μελέτη, τα πράγματα γίνονται περισσότερο ξεκάθαρα, και η κατανόηση είναι ευκολότερη. Αν όμως συναντήσετε περισσότερες δυσκολίες, τότε είναι βέβαιο ότι πρέπει να γυρίσετε πίσω, και να ξαναδιαβάσετε από την αρχή τα σημεία που σας προβληματίζουν. Αν σκέφτεστε ότι κάτι τέτοιο είναι κουραστικό, θυμηθείτε ότι η γνώση είναι μια προσωπική περιουσία, την οποία εσείς οι ίδιοι πρέπει να αποκτήσετε, και κανείς στον κόσμο δεν μπορεί να σας την αφαιρέσει.
Το βιβλίο «Αλγεβρικές Δομές ΙΙ» είναι μια εισαγωγή στη Θεωρία Δακτυλίων, αποτελεί συνέχεια του βιβλίου «Αλγεβρικές Δομές Ι», και απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές του Μαθηματικού Τμήματος, και σε κάθε άλλο που θα ήθελε να εξοικειωθεί με τις αλγεβρικές έννοιες. Γράφτηκε για να καλύψει κυρίως τη διδακτέα ύλη του αντίστοιχου υποχρεωτικού εξαμηνιαίου μαθήματος, το οποίο διδάσκεται στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης.
Το βιβλίο αυτό αποτελείται από έξι κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρονται οι έννοιες του δακτυλίου, και του ομομορφισμού δακτυλίων, καθώς και βασικές ιδιότητες αυτών. Επίσης, ορίζεται το ιδεώδες ενός δακτυλίου, και οι πράξεις ιδεωδών. Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζεται ο δακτύλιος πηλίκο, και αναφέρονται τα θεωρήματα ισομορφίας δακτυλίων. Επίσης, ορίζεται το σώμα κλασμάτων μιας ακεραίας περιοχής, και η έννοια του πρώτου σώματος. Το τρίτο κεφάλαιο αφορά δύο σημαντικές κατηγορίες ιδεωδών, τα πρώτα και τα μέγιστα ιδεώδη, ενώ το επόμενο κεφάλαιο διαπραγματεύεται έννοιες που αφορούν τους αντιμεταθετικούς δακτυλίους. Το πέμπτο κεφάλαιο αφορά τους δακτυλίους πολυωνύμων, και γίνεται εκτενής αναφορά στα ανάγωγα πολυώνυμα. Στο έκτο κεφάλαιο αναφέρεται η έννοια της επέκτασης ενός σώματος, και ορίζονται τα αλγεβρικά στοιχεία. Ιδιαίτερη προσπάθεια έγινε ώστε η παρουσίαση των θεμάτων να είναι κατά το δυνατόν απλούστερη, έτσι ώστε το περιεχόμενο του βιβλίου να είναι κατανοητό από το φοιτητή.
Σχεδόν κάθε παράγραφος συνοδεύεται από ασκήσεις, οι οποίες δίνουν την ευκαιρία στον φοιτητή να ελέγξει αφενός τις γνώσεις που αποκτά σταδιακά, αφετέρου την ικανότητά του να συνδυάζει θεωρήματα που μαθαίνει, με στόχο να πετύχει νέα αποτελέσματα. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων, η οποία καλύπτει όλα τα θέματα που αναπτύσσονται στο βιβλίο αυτό. Σε κάθε μια από αυτές, δίνεται αναλυτική υπόδειξη.

Περιεχόμενα

Εισαγωγή

1 Εισαγωγή στη Θεωρία Δακτυλίων

1. Οι πρώτοι ορισμοί και βασικά αποτελέσματα
2. Ασκήσεις
3. Ομομορφισμοί δακτυλίων
4. Ασκήσεις
5. Ευθύ άθροισμα δακτυλίων
6. Ασκήσεις
7. Ιδεώδη και πράξεις ιδεωδών
8. Ασκήσεις

2 Ισομορφίες δακτυλίων

1. Ο δακτύλιος πηλίκο
2. Ασκήσεις
3. Θεωρήματα ισομορφίας δακτυλίων
4. Ασκήσεις
5. Σώμα κλασμάτων. Πρώτα σώματα
6. Ασκήσεις

3 Πρώτα και Μέγιστα ιδεώδη

1. Πρώτα ιδεώδη
2. Μέγιστα ιδεώδη
3. Ασκήσεις

4 Αντιμεταθετικοί δακτύλιοι

1. Διαιρετότητα σε αντιμεταθετικούς δακτυλίους
2. Ευκλείδειοι δακτύλιοι
3. Δακτύλιοι μονοσήμαντης ανάλυσης
4. Ασκήσεις

5 Πολυωνυμικοί Δακτύλιοι

1. Γενικά περί πολυωνύμων
2. Ασκήσεις
3. Αναγωγισιμότητα πολυωνύμων
4. Ασκήσεις
5. Πολυώνυμα με συντελεστές από σώμα
6. Ασκήσεις
7. Ανάγωγα πολυώνυμα
8. Ασκήσεις

6 Στοιχεία από τη θεωρία σωμάτων

1. Επεκτάσεις σωμάτων
2. Ασκήσεις
3. Αλγεβρικές επεκτάσεις
4. Ασκήσεις

7 Γενικές Ασκήσεις

Βιβλιογραφία
Ευρετήριο