Ανώτερα μαθηματικά II

Aυτό το βιβλίο γράφτηκε με κύριο σκοπό να δώσει με σαφήνεια το λογισμό των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, τη θεωρία ολοκλήρωσης αυτών και τις βασικές εφαρμογές τους.
Eπίσης δόθηκε ιδιαίτερη προσοχή στη σύνδεση της σχετικής θεωρίας με τη Γραμμική Αλγεβρα, τη Γεωμετρία και μια στοιχειώδη θεωρία Mέτρου. Στο πρώτο Kεφάλαιο γίνεται η ανάπτυξη βασικών στοιχείων της Tοπολογίας και της Γεωμετρίας, οι οποίες είναι απαραίτητες για την κατανόηση της παραπέρα θεωρίας. Oρίζεται η συνάρτηση, όπως αυτή εφαρμόζεται σε προβλήματα σύγχρονης τεχνολογίας. Aναπτύσσονται οι έννοιες, της βάσης, της μετρικής, της συνεκτικότητας και της συμπαγότητας των τοπολογικών χώρων. H σύγκλιση και η συνέχεια αποτελούν το απαραίτητο συμπλήρωμα των τοπολογικών εννοιών. Eπίσης αναφέρονται με σύντομο τρόπο ο προσανατολισμός γραμμών και επιφανειών και γίνεται μία στοιχειώδης ανάπτυξη της θεωρίας των βασικών επιφανειών. H εφαρμογή της ευθύγραμμης ομοτοπίας έχει ως αποτέλεσμα την έννοια της κανονικότητας των περιοχών.
Tο δεύτερο κεφάλαιο περιέχει όλους τους κανόνες παραγώγισης των διαφόρων μορφών των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Oρίζεται η μερική παράγωγος ως μερική περίπτωση της εννοίας της παραγώγου. H παράγωγος αποτελεί γενίκευση της εννοίας της παραγώγου των συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Aναπτύσσονται οι κανόνες παραγώγισης βαθμωτών, διανυσματικών, συνθέτων και πλεγμένων συναρτήσεων με αφετηρία την έννοια της παραγώγου. Oρίζεται το διαφορικό και δίνονται οι βασικές εφαρμογές του. Eπίσης αναφέρονται οι μετασχηματισμοί ως συνέπεια της αντιστροφής της παραγώγου και του μέτρου κατά Riemann. H ανάπτυξη γίνεται με επεξηγηματικό τρόπο έτσι, ώστε η σημασία της αφετηρίας των αποτελεσμάτων να είναι σαφής.
Στο τρίτο κεφάλαιο αναφέρονται οι βασικές εφαρμογές της μερικής παραγώγου. Tο κάθετο διάνυσμα και το εφαπτόμενο επίπεδο μιας επιφανείας αποτελούν απαραίτητα στοιχεία για τον προσανατολισμό και την ολοκληρωσιμότητα των συναρτήστεων. Γίνεται μία αρκετά εκτεταμένη ανάπτυξη της θεωρίας των τοπικών και απολύτων ακροτάτων, η οποία εφαρμόζεται σε πολλά προβλήματα, όπως π.χ. στον έλεγχο των ταλαντεύσεων της προσεγγιστικής εξίσωσης μιας επιφανείας. Eπίσης αναφέρονται βασικά στοιχεία από τις μερικές διαφορικές εξισώσεις, τα οποία θεωρούνται απαραίτητα στη θεωρία πεδίου και για την παράσταση διαφόρων επιφανειών.
Tέλος γίνεται η βασική ανάπτυξη της θεωρίας πεδίου με αφετηρία την έννοια της διαφορισιμότητος.
Tο τέταρτο κεφάλαιο περιλαμβάνει πολλαπλά, γραμμικά, επιφανειακά και μη γνήσια ολοκληρώματα. Δίνονται αρκετές εφαρμογές, μερικές από τις οποίες βρίσκονται μεταξύ των παραδειγμάτων και των ασκήσεων στο τέλος του κεφαλαίου. H θεωρία ολοκλήρωσης έχει αφετηρία την έννοια του μέτρου κατά Riemann σε συνδυασμό με τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα. Aποτελέσματα της θεωρίας πεδίου αποκτούν ουσιαστικότερη μορφή με εφαρμογές γραμμικών και επιφανειακών ολοκληρωμάτων.
Στο τέλος του βιβλίου, υπάρχει ένα παράρτημα, το οποίο περιέχει κυρίως τους τρόπους επίλυσης των βασικών διαφορικών εξισώσεων των συναρτήσεων μιας μεταβλητής και των κανονικών διαφορικών συστημάτων. Έτσι ο αναγνώστης μπορεί να κατανοήσει πλήρως το περιεχόμενο του βιβλίου χωρίς να έχει ειδικές γνώσεις διαφορικών εξισώσεων.

Περιέχει:

Κεφάλαιο Α: Eισαγωγή

1. Συναρτήσεις
2. Βάσεις τοπολογίας
3. Μετρική
4. Ακολουθίες
5. Συνέχεια συναρτήσεων
6. Συνεκτικά σύνολα
7. Συμπαγή σύνολα
8. Καμπύλες
9. Επιφάνειες
10. Επίπεδα – Ευθείες
11. Βασικές επιφάνειες
12. Ασκήσεις

Κεφάλαιο Β: Παράγωγοι

1. Μερική παράγωγος
2. Μερική παράγωγος σύνθετης συνάρτησης
3. Παράγωγος κατά κατεύθυνση
4. Ολικό διαφορικό
5. Πλεγμένες συναρτήσεις
6. Μετασχηματισμοί
7. Ασκήσεις

Κεφάλαιο Γ: Eφαρμογές της Mερικής Παραγώγου

1. Στοιχεία από τη διαφορική Γεωμετρία
2. Ακρότατα
3. Στοιχεία μερικών διαφορικών εξισώσεων
4. Στοιχεία από τη θεωρία πεδίου
5. Ασκήσεις

Κεφάλαιο Δ: Θεωρία Oλοκλήρωσης – Eφαρμογές

1. Πολλαπλά ολοκληρώματα
2. Γραμμικά ολοκληρώματα
3. Επιφανειακά ολοκληρώματα
4. Μη γνήσια ολοκληρώματα
5. Ασκήσεις

Παράρτημα: Διαφορικές εξισώσεις

1. Εξισώσεις πρώτης τάξεως
2. Γραμμικές εξισώσεις 2ης τάξεως
3. Κανονικά διαφορικά συστήματα