Αλγεβρικές Δομές Ι

Η σύγχρονη Αλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών, και όχι μόνον, χρειάζονται τα αποτελέσματα της Αλγεβρας, αλλά και διότι η Αλγεβρα προσφέρει κομψές και αποτελεσματικές τεχνικές στην επίλυση προβλημάτων. Αυτό επιτυγχάνεται μέσα από την αφηρημένη προσέγγιση, και την αξιωματική μεθοδολογία. Θα πρέπει, όμως, να έχουμε πάντοτε υπόψη ότι η αξιωματική μεθοδολογία έχει να κάνει περισσότερο με την οργάνωση, και όχι με την ουσία της Αλγεβρας.
Δεν υπάρχει αμφιβολία, ότι πολλοί φοιτητές συναντούν δυσκολίες από την πρώτη τους επαφή με την Αλγεβρα. Οι δυσκολίες αυτές έχουν πολλές αιτίες, αλλά οι κυριότερες είναι δύο. Πρώτη είναι η αλλαγή της έμφασης από την αλγοριθμική προσέγγιση της μέσης εκπαίδευσης, σε μια περισσότερο αυστηρή και αφηρημένη προσέγγιση. Η αφηρημένη προσέγγιση δεν γίνεται μόνο για λόγους γενικότητας, αλλά κυρίως διότι διαπιστώθηκε ότι αυτού του είδους η προσέγγιση προσφέρει τις κομψές και αποτελεσματικές τεχνικές επίλυσης προβλημάτων, που προαναφέρθηκαν. Μια δεύτερη αιτία είναι ο αυξημένος ρυθμός της παρουσίασης του αντικειμένου, που συναντά κανείς σε κάθε πανεπιστήμιο, σε σχέση με τον ρυθμό παρουσίασης στη μέση εκπαίδευση. Οποιαδήποτε και αν είναι η αιτία, οι δυσκολίες αυτές αποθαρρύνουν αρκετούς φοιτητές από την περαιτέρω ενασχόληση με την Αλγεβρα, με αποτέλεσμα, και αυτό είναι λυπηρό, να χάνουν μια από τις ομορφότερες περιοχές των μαθηματικών.
Ακριβώς για το λόγο αυτό, ίσως συγχωρεθούν κάποιες συμβουλές, όσον αφορά τη μελέτη της Αλγεβρας. Καταρχήν σηκωθείτε από την πολυθρόνα, πάρτε μολύβι και χαρτί, και καθίστε στο γραφείο σας. Τα μαθηματικά, και πολύ περισσότερο η Αλγεβρα, δεν διαβάζονται σαν μυθιστόρημα, απαιτούν τη συμμετοχή μας. Αν συναντήσετε μια δυσκολία, και σας φαίνεται ανυπέρβλητη, μη διστάσετε να προχωρήσετε παρακάτω. Μερικές φορές συνεχίζοντας τη μελέτη, τα πράγματα γίνονται περισσότερο ξεκάθαρα, και η κατανόηση είναι ευκολότερη. Αν όμως συναντήσετε περισσότερες δυσκολίες, τότε είναι βέβαιο ότι πρέπει να γυρίσετε πίσω, και να ξαναδιαβάσετε από την αρχή τα σημεία που σας προβληματίζουν. Αν σκέφτεστε ότι κάτι τέτοιο είναι κουραστικό, θυμηθείτε ότι η γνώση είναι μια προσωπική περιουσία, την οποία εσείς οι ίδιοι πρέπει να αποκτήσετε, και κανείς στον κόσμο δεν μπορεί να σας την αφαιρέσει.
Το βιβλίο «Αλγεβρικές Δομές Ι» αποτελεί μια εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων, και απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές του Μαθηματικού Τμήματος, και σε κάθε άλλο που θα ήθελε να εξοικειωθεί με τις αλγεβρικές έννοιες. Γράφτηκε για να καλύψει κυρίως τη διδακτέα ύλη του αντίστοιχου υποχρεωτικού εξαμηνιαίου μαθήματος, το οποίο διδάσκεται στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης.
Το βιβλίο αυτό αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια. Στο πρώτο αναφέρονται βασικές εισαγωγικές έννοιες της ομάδας, η οποία είναι και η βασική αλγεβρική δομή. Το δεύτερο αφορά κυρίως την ομάδα πηλίκο, και φυσικά τους ισομορφισμούς ομάδων. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται η ταξινόμηση των κυκλικών ομάδων, και αναφέρονται αποτελέσματα από το γινόμενο ομάδων. Στο τελευταίο κεφάλαιο αναπτύσσεται η ομάδα μεταθέσεων, και αναφέρονται κάποιες εφαρμογές που αφορούν τις μεταθέσεις. Ιδιαίτερη προσπάθεια έγινε ώστε η παρουσίαση των θεμάτων να είναι κατά το δυνατόν απλούστερη, έτσι ώστε το περιεχόμενο του βιβλίου να είναι κατανοητό από το φοιτητή.
Σχεδόν κάθε παράγραφος συνοδεύεται από ασκήσεις, οι οποίες δίνουν την ευκαιρία στον φοιτητή να ελέγξει αφενός τις γνώσεις που αποκτά σταδιακά, αφετέρου την ικανότητά του να συνδυάζει θεωρήματα που μαθαίνει, με στόχο να πετύχει νέα αποτελέσματα. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων, η οποία καλύπτει όλα τα θέματα που αναπτύσσονται στο βιβλίο αυτό. Σε κάθε μια από αυτές, δίνεται αναλυτική υπόδειξη.

Περιεχόμενα

Εισαγωγή

1 Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων

1. Οι πρώτοι ορισμοί και βασικά αποτελέσματα
2. Ασκήσεις
3. Ομομορφισμοί ομάδων
4. Ασκήσεις
5. Το Θεώρημα Lagrange
6. Ασκήσεις
7. Κανονικές υποομάδες
8. Ασκήσεις
9. Συζυγείς υποομάδες και συζυγή στοιχεία
10. Ασκήσεις

2 Ισομορφίες Ομάδων

1. Η ομάδα πηλίκο
2. Ασκήσεις
3. Θεωρήματα ισομορφίας ομάδων
4. Ασκήσεις

3 Ειδικές μορφές ομάδων

1. Κυκλικές ομάδες
2. Ασκήσεις
3. Ευθύ γινόμενο ομάδων.
4. Ασκήσεις

4 Εφαρμογές ομάδας μεταθέσεων

1. H συμμετρική ομάδα S_n
2. Ασκήσεις
3. Δράση ομάδας σε σύνολο
4. Ασκήσεις
5. Συνδυαστική και δράση ομάδας
6. Ασκήσεις

5 Γενικές Ασκήσεις

Βιβλιογραφία
Ευρετήριο