Μαθήματα Αρμονικής Ανάλυσης

Το βιβλίο αυτό είναι μια πρώτη προσπάθεια να σχεδιαστεί ένα εισαγωγικό μάθημα Αρμονικής ανάλυσης για τους φοιτητές του 4ου έτους και ίσως περισσότερο γι’ αυτούς που ξεκινούν τα μεταπτυχιακά τους στα καθαρά Μαθηματικά. Φαίνεται πως σύντομα θ’ αρχίσει η λειτουργία του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών και στο Τμήμα μας, το Τμήμα Μαθηματικών του ΑΠΘ.
Τα τελευταία χρόνια, τα μεταπτυχιακά φυτρώνουν σαν μανιτάρια. Οι φοιτητές μας αντιδρούν περίπου υστερικά. Αν δεν φύγουν έξω, προσπαθούν να “τρυπώσουν” οπωσδήποτε σε κάποιο εγχώριο μεταπτυχιακό πρόγραμμα. Φαίνεται πως μπήκαμε ήδη στο περίφημο 3-5-8 της Μπολώνια, και μάλιστα τροποποιημένο σε 4-6-9. Οι πρώτοι που το κατάλαβαν είναι οι φοιτητές, που είναι και άμεσα ενδιαφερόμενοι.
Τα τελευταία χρόνια, τα Μαθηματικά στη χώρα μας βρίσκονται σε ανοδική τροχιά. Απόδειξη είναι η σταθερή και αξιοπρεπής παρουσία της ερευνητικής παραγωγής που γίνεται στην Ελλάδα, σε πολύ καλά περιοδικά του εξωτερικού. Η κατάσταση αυτή δικαιολογεί, και με το παραπάνω, την δημιουργία μεταπτυχιακών στο Τμήμα μας. Έτσι το εγχειρίδιο αυτό έρχεται να υποστηρίξει αυτή την προσπάθεια.
Αποφάσισα να παρουσιάσω ορισμένα θέματα της Αρμονικής ανάλυσης κατ’ ευθείαν στον Rⁿ, χωρίς να ασχοληθώ με τον κλασικό κύκλο και τις σειρές Fourier. Κατά κάποιο τρόπο ξεκινούμε με το 2ο τεύχος!
Στο πρώτο μέρος του βιβλίου παρουσιάζονται οι έννοιες της Πραγματικής ανάλυσης που αποτελούν το φόντο της Αρμονικής ανάλυσης που ακολουθεί: Χώροι L^p και οι αντίστοιχοι ασθενείς, θεωρήματα παρεμβολής και λίγο πιο κάτω μια γρήγορη εισαγωγή στον μετασχηματισμό Fourier. Η παρουσίαση είναι σχεδόν πλήρης και η ενασχόληση με τις αποδείξεις που δίδονται είναι μιας πρώτης τάξεως ευκαιρία για τον φοιτητή να εξοικειωθεί με τις έννοιες, που θα είναι κατά κάποιο τρόπο, η καθημερινότητά του.
Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζονται ορισμένα κλασικά θέματα της Αρμονικής ανάλυσης. Οι αρμονικές συναρτήσεις και οι θαυμαστές ιδιότητές τους, ο πυρήνας της θερμότητας και ο παράγωγός του πυρήνας του Poisson. Έτσι γίνεται και μια πρώτη γνωριμία με τις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους, τις θεμελιώδεις λύσεις τους και τις συνοριακές τους τιμές.
Ορισμένες έννοιες, ιδέες και αποτελέσματα που παρουσιάζονται σ’ αυτό το μέρος, (πυρήνες της θερμότητας και Poisson, ανισότητα Harnack), έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη της σύγχρονης Αρμονικής ανάλυσης.
Στο τρίτο και τελευταίο μέρος αποφάσισα να κάνω μια πρώτη παρουσίαση της θεωρίας των Calderόn-Zygmund για τους ιδιάζοντες ολοκληρωτικούς τελεστές. Η θεωρία ξεκινά στις αρχές του περασμένου αιώνα (δύσκολο να το συνηθίσουμε!) με τον μετασχηματισμό Hilbert για τις συζυγείς αρμονικές και με μεθόδους της μιγαδικής ανάλυσης. Αυτονομείται από τις μιγαδικές μεθόδους και περνά στον Rⁿ. Με μεθόδους καθαρά πραγματικές μελετώνται οι μετασχηματισμοί Riesz, η πολυδιάστατη εκδοχή του Hilbert, και οι τελεστές συνέλιξης. Ο χώρος Hardy H¹ και η συζυγία του με τον ΒΜΟ, είναι παιδιά των μετασχηματισμών Riesz.
Τα “Μαθήματα” αντλούν υλικό από πολλές πηγές. “Τα λόγια μας είναι παιδιά πολλών ανθρώπων”, για να θυμηθούμε τον Γ. Σεφέρη. Από τα βιβλία του Stein, των Stein και Weiss, για την Αρμονική ανάλυση και τον Rudin για την Πραγματική ανάλυση. Οδηγός για την επιλογή του υλικού που παρουσιάζεται, στάθηκαν οι Πανεπιστημιακές σημειώσεις του Βαρόπουλου, το βιβλίο του Sogge και το άρθρο επισκόπησης του Carbery.

Περιέχει:

1. Εισαγωγή
2. Πραγματική Ανάλυση
3. Αρμονικές συναρτήσεις
4. Ο Μετασχηματισμός Fourier
5. Οι κλασικές διαφορικές εξισώσεις
6. Η Μεγιστική Συνάρτηση
7. Ιδιάζοντες ολοκληρωτικοί τελεστές
8. Η¹ και ΒΜΟ