Αριθμητική Ανάλυση

Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε φοιτητές Θετικών Επιστημών και Πολυτεχνείου και περιέχει την ύλη του μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης (ή των Υπολογιστικών Μαθηματικών).
Αριθμητική Ανάλυση είναι ο κλάδος της μαθηματικής επιστήμης που σχεδιάζει και κατασκευάζει αριθμητικές μεθόδους για την κατά προσέγγιση επίλυση διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων.
Η ανάπτυξή της συνδέεται άμεσα με την ανάπτυξη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Εφαρμόζεται σε πολλούς επιστημονικούς κλάδους, όπως είναι η Στατιστική, η Μηχανική, η Μετεωρολογία.
Μερικά από τα προβλήματα που επιλύει προσεγγιστικά είναι τα εξής:

• Η επίλυση γραμμικών συστημάτων με μεγάλο αριθμό εξισώσεων και αγνώστων.
• Ο υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων, όταν το αντίστοιχο αόριστο ολοκλήρωμα δεν εκφράζεται με στοιχειώδεις συναρτήσεις.
• Η επίλυση διαφορικών εξισώσεων, όταν η γενική λύση είναι αδύνατο να βρεθεί ή είναι περίπλοκη.

Τα κεφάλαια που αναπτύσσονται είναι:

1. Βασικές έννοιες
2. Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων
3. Πολυωνυμική παρεμβολή
4. Πολυωνυμική προσέγγιση
5. Αριθμητική ολοκλήρωση
6. Επίλυση γραμμικών συστημάτων
7. Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων
8. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων.

Ακολουθούν ανακεφαλαίωση κατά κεφάλαιο, γενικά παραδείγματα και σύντομες λύσεις των ασκήσεων.

Περιεχόμενα

Κεφάλαιο 1: Βασικές Έννοιες

1. Σφάλματα
2. Μετάδοση των σφαλμάτων κατά τους υπολογισμούς
3. Πεπερασμένες διαφορές
4. Μετάδοση σφαλμάτων σε πίνακα διαφορών
5. Γραμμικοί τελεστές
   Προτεινόμενες ασκήσεις στο πρώτο κεφάλαιο

Κεφάλαιο 2: Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων

1. Η μέθοδος της διχοτόμησης (Bolzano)
2. Γενική επαναληπτική μέθοδος (Picard – Peano)
3. Η μέθοδος Νewton – Raphson
4. Η μέθοδος της τέμνουσας (Regula – Falsi)
   Προτεινόμενες ασκήσεις στο δεύτερο κεφάλαιο

Κεφάλαιο 3: Πολυωνυμική παρεμβολή

1. Παρεμβολή Lagrange
2. Πολυώνυμο παρεμβολής σε μορφή Νewton
3. Πολυώνυμο παρεμβολής με πεπερασμένες διαφορές
4. Μέθοδος Aitken
   Προτεινόμενες ασκήσεις στο τέταρτο κεφάλαιο

Κεφάλαιο 4: Πολυωνυμική Προσέγγιση

1. Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων
2. Εκθετική προσέγγιση με τη μέθοδο ελάχιστων τετραγώνων
   Προτεινόμενες ασκήσεις στο τέταρτο κεφάλαιο

Κεφάλαιο 5: Αριθμητική Ολοκλήρωση

1. Ο κανόνας του τραπεζίου
2. Ο κανόνας Simpson
3. Ο κανόνας των 3/8
4. Η μέθοδος Romberg
5. Γενικευμένα ολοκληρώματα
   Προτεινόμενες ασκήσεις στο πέμπτο κεφάλαιο

Κεφάλαιο 6: Επίλυση γραμμικών συστημάτων

1. Μέθοδος απαλοιφής του Gauss
2. Διόρθωση της λύσης ενός γραμμικού συστήματος
3. Μέθοδοι παραγοντοποίησης (Crout και Choleski)
4. Επαναληπτικές μέθοδοι (Jacobi και Gauss – Seidel)
5. Μέθοδος Thomas
6. Μέθοδος SOR
   Προτεινόμενες ασκήσεις στο έκτο κεφάλαιο

Κεφάλαιο 7: Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων

1. Βασικές έννοιες
2. Η μέθοδος Euler
3. Η μέθοδος Taylor
4. Οι μέθοδοι Runge – Kutta
5. Μέθοδοι πρόβλεψης – διόρθωσης
   Προτεινόμενες ασκήσεις στο έβδομο κεφάλαιο

Κεφάλαιο 8: Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων

1. Στοιχεία από τη Γραμμική Αλγεβρα
2. Η μέθοδος της δύναμης
3. Ο μετασχηματισμός Householder
4. Η παραγοντοποίηση QR
5. Εύρεση όλων των ιδιοτιμών ενός πίνακα
   Προτεινόμενες ασκήσεις στο όγδοο κεφάλαιο

• Ανακεφαλαίωση
• Γενικά παραδείγματα
• Σύντομες λύσεις των ασκήσεων