
Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε φοιτητές Θετικών Επιστημών και Πολυτεχνείου και περιέχει την ύλη του μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης (ή των Υπολογιστικών Μαθηματικών).
Αριθμητική Ανάλυση είναι ο κλάδος της μαθηματικής επιστήμης που σχεδιάζει και κατασκευάζει αριθμητικές μεθόδους για την κατά προσέγγιση επίλυση διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων.
Η ανάπτυξή της συνδέεται άμεσα με την ανάπτυξη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Εφαρμόζεται σε πολλούς επιστημονικούς κλάδους, όπως είναι η Στατιστική, η Μηχανική, η Μετεωρολογία.
Μερικά από τα προβλήματα που επιλύει προσεγγιστικά είναι τα εξής:
- Η επίλυση γραμμικών συστημάτων με μεγάλο αριθμό εξισώσεων και αγνώστων.
- Ο υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων, όταν το αντίστοιχο αόριστο ολοκλήρωμα δεν εκφράζεται με στοιχειώδεις συναρτήσεις.
- Η επίλυση διαφορικών εξισώσεων, όταν η γενική λύση είναι αδύνατο να βρεθεί ή είναι περίπλοκη.
Τα κεφάλαια που αναπτύσσονται είναι:
- Βασικές έννοιες
- Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων
- Πολυωνυμική παρεμβολή
- Πολυωνυμική προσέγγιση
- Αριθμητική ολοκλήρωση
- Επίλυση γραμμικών συστημάτων
- Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων
- Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων.
Ακολουθούν ανακεφαλαίωση κατά κεφάλαιο, γενικά παραδείγματα και σύντομες λύσεις των ασκήσεων.
Περιεχόμενα
Κεφάλαιο 1: Βασικές Έννοιες
- Σφάλματα
- Μετάδοση των σφαλμάτων κατά τους υπολογισμούς
- Πεπερασμένες διαφορές
- Μετάδοση σφαλμάτων σε πίνακα διαφορών
- Γραμμικοί τελεστές
Προτεινόμενες ασκήσεις στο πρώτο κεφάλαιο
Κεφάλαιο 2: Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων
- Η μέθοδος της διχοτόμησης (Bolzano)
- Γενική επαναληπτική μέθοδος (Picard – Peano)
- Η μέθοδος Νewton – Raphson
- Η μέθοδος της τέμνουσας (Regula – Falsi)
Προτεινόμενες ασκήσεις στο δεύτερο κεφάλαιο
Κεφάλαιο 3: Πολυωνυμική παρεμβολή
- Παρεμβολή Lagrange
- Πολυώνυμο παρεμβολής σε μορφή Νewton
- Πολυώνυμο παρεμβολής με πεπερασμένες διαφορές
- Μέθοδος Aitken
Προτεινόμενες ασκήσεις στο τέταρτο κεφάλαιο
Κεφάλαιο 4: Πολυωνυμική Προσέγγιση
- Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων
- Εκθετική προσέγγιση με τη μέθοδο ελάχιστων τετραγώνων
Προτεινόμενες ασκήσεις στο τέταρτο κεφάλαιο
Κεφάλαιο 5: Αριθμητική Ολοκλήρωση
- Ο κανόνας του τραπεζίου
- Ο κανόνας Simpson
- Ο κανόνας των 3/8
- Η μέθοδος Romberg
- Γενικευμένα ολοκληρώματα
Προτεινόμενες ασκήσεις στο πέμπτο κεφάλαιο
Κεφάλαιο 6: Επίλυση γραμμικών συστημάτων
- Μέθοδος απαλοιφής του Gauss
- Διόρθωση της λύσης ενός γραμμικού συστήματος
- Μέθοδοι παραγοντοποίησης (Crout και Choleski)
- Επαναληπτικές μέθοδοι (Jacobi και Gauss – Seidel)
- Μέθοδος Thomas
- Μέθοδος SOR
Προτεινόμενες ασκήσεις στο έκτο κεφάλαιο
Κεφάλαιο 7: Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων
- Βασικές έννοιες
- Η μέθοδος Euler
- Η μέθοδος Taylor
- Οι μέθοδοι Runge – Kutta
- Μέθοδοι πρόβλεψης – διόρθωσης
Προτεινόμενες ασκήσεις στο έβδομο κεφάλαιο
Κεφάλαιο 8: Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων
- Στοιχεία από τη Γραμμική Αλγεβρα
- Η μέθοδος της δύναμης
- Ο μετασχηματισμός Householder
- Η παραγοντοποίηση QR
- Εύρεση όλων των ιδιοτιμών ενός πίνακα
Προτεινόμενες ασκήσεις στο όγδοο κεφάλαιο
- Ανακεφαλαίωση
- Γενικά παραδείγματα
- Σύντομες λύσεις των ασκήσεων