Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης

Σκοπός μας είναι να βοηθήσουμε τους φοιτητές στην κατανόηση μέρους των βασικών αποτελεσμάτων της Συναρτησιακής Ανάλυσης, να τους εξοικιώσουμε με την αποδεικτική μεθοδολογία και να δώσουμε μερικές ενδιαφέρουσες εφαρμογές. Φιλοδοξία μας είναι να πείσουμε τον αναγνώστη για τη δύναμη και την χρησιμότητα της Συναρτησιακής Ανάλυσης και να του δώσουμε τις βάσεις και τα κατάλληλα ερεθίσματα να συνεχίσει σε πιο προχωρημένο επίπεδο την μελέτη θεμάτων που τον ενδιαφέρουν ειδικότερα και επιλύονται με τεχνικές που περιγράφονται στο βιβλίο αυτό.
Για την κατανόηση ενός εισαγωγικού μαθήματος Συναρτησιακής Ανάλυσης είναι απαραίτητες γνώσεις από τη Θεωρία Συνόλων, τον Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό, την Πραγματική και Μιγαδική Ανάλυση, την Γραμμική Αλγεβρα, την Γεωμετρία και κυρίως την Τοπολογία μετρικών χώρων. Οι προαπαιτούμενες αυτές γνώσεις είναι συγκεντρωμένες στο μεγαλύτερο μέρος τους στα δύο πρώτα κεφάλαια και στην πρώτη παράγραφο του τρίτου κεφαλαίου.
Τέλος σημειώνουμε ότι στο βιβλίο περιέχονται πολλά Παραδείγματα, Παρατηρήσεις και περίπου 100 λυμένες Ασκήσεις με σκοπό τη διευκόλυνση του αναγνώστη στην καλύτερη κατανόηση του περιεχομένου.

Περιεχόμενα

1. Eισαγωγικές έννοιες
   • Σύνολα και συναρτήσεις, Λήμμα του Zorn
   • Πραγματικοί και μιγαδικοί αριθμοί, Σύγκλιση και συνέχεια
   • Ακολουθίες συναρτήσεων
   • Ανισότητες Holder και Minkowski
   • Ασκήσεις
2. Mετρικοί χώροι
   • Η έννοια της μετρικής
   • Τοπολογία μετρικών χώρων
   • Σύγκλιση και συνέχεια
   • Συμπαγείς μετρικοί χώροι και σύνολα
   • Πλήρεις μετρικοί χώροι
   • Ασκήσεις
3. Nορμικοί χώροι
   • Γραμμικοί χώροι
   • Η έννοια της νορμικής
   • Ασκήσεις
4. Xώροι με εσωτερικό γινόμενο
   • Η έννοια του εσωτερικού γινομένου
   • Καθετότητα
   • Χώροι του Hilbert
   • Ασκήσεις
5. Γραμμικοί τελεστές και συναρτησιακά
   • Γραμμικές συναρτήσεις
   • Συνέχεια γραμμικών τελεστών
   • Ασκήσεις
6. Bασικά Θεωρήματα
   • Θεώρημα επεκτάσεως Hahn – Banach
   • Θεώρημα Banach – Steinhaus
   • Θεωρήματα ανοικτής απεικόνισης και κλειστού γραφήματος
   • Ασκήσεις