Μαθήματα Διαφορικού Λογισμού Πολλών Mεταβλητών

Το εγχειρίδιο αυτό είναι η τακτοποίηση των πρόχειρων σημειώσεών μας για το μάθημα του «Διαφορικού Λογισμού ΙΙ», που διδάσκουμε στο Τμήμα Μαθηματικών του ΑΠΘ. Έρχεται μετά τα ”Μαθήματα Ολοκληρωτικού Λογισμού πολλών μεταβλητών”, που ο δεύτερος εξ ημών συνέγραψε με τον εκλεκτό συνάδελφο και φίλο Ν.Χ. Μαντούβαλο. Έτσι, συμπληρώνεται η άποψή μας για τη διδακτική προσέγγιση και παρουσίαση του Λογισμού πολλών μεταβλητών. Η άποψή μας αυτή παρουσιάζεται στον Πρόλογο των “Μαθημάτων Ολοκληρωτικού Λογισμού”:
Δεν ήταν στις προθέσεις μας να γράψουμε μια “Πραγματεία”, Traité που λένε οι Γάλλοι. Οι Πραγματείες είναι πιο χρήσιμες στους διδάσκοντες παρά στους διδασκόμενους. Ούτε ένα ογκώδες βοήθημα όπου ο αρχάριος είναι εύκολο να πελαγώσει και να χαθεί. Νήπιοι, ουδέ ίσασιν όσω πλέον ήμισυ παντός, έλεγε ο Ησίοδος στα Έργα και Ημέραι. Έτσι, καταλήξαμε στη συγγραφή ενός σύντομου και ισορροπημένου συνόλου με μορφή φιλική για τον αναγνώστη.
Τα “Μαθήματα” αντλούν υλικό από διάφορες πηγές. “Τα λόγια μας είναι παιδιά πολλών ανθρώπων”, για να θυμηθούμε τον ποιητή. Αναφέρομε ενδεκτικά τα εγχειρίδια των Γ. Γεωργανόπουλου και Π. Ξενικάκη, Τ. Χατζηαφράτη, Marden και Tromba, τον μικρό Spivak.
Το υλικό παρουσιάζεται με τρόπο ζωντανό, θυμίζοντας πολλές φορές την ατμόσφαιρα του αμφιθεάτρου, ώστε να προκαλέσει το ενδιαφέρον της πλειονότητας των φοιτητών. Η προσέγγιση της ουσίας είναι άμεση και συνοδεύεται συνήθως από ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα, το μοντέλο, όπως λέμε στην ακαδημαϊκή καθομιλουμένη. Το περιττό, το φλύαρο και το κενό, που στην εποχή μας έχουν πάρει το πάνω χέρι, έγινε προσπάθεια να εξοβελιστούν.
Προσπαθήσαμε να κρατήσουμε την ισορροπία ανάμεσα στην Ανάλυση και το Λογισμό. Ο φοιτητής πρέπει να καταλάβει τις έννοιες και τα θεωρήματα, αλλά και να μάθει να λογαριάζει. Η έλλειψη του ενός εκ των δύο οδηγεί σε επικίνδυνες ατραπούς. Έτσι, όλα τα βαρειά θεωρήματα δίνονται με πλήρεις αποδείξεις. Η επεξεργασία των αποδείξεων, ώστε να παρουσιαστούν όσο το δυνατόν πιο καθαρές και εύληπτες, ήταν και χρονοβόρα και κουραστική. Ελπίζουμε να τα καταφέραμε. Αλλά αυτό θα μας το πουν οι φοιτητές μας. Τα θεωρήματα και οι ορισμοί συνοδεύονται από πληθώρα επιλεγμένων παραδειγμάτων, ώστε να εμπεδωθεί και να εφαρμοστεί η θεωρία, και να μάθει ο φοιτητής να λογαριάζει.

Περιεχόμενα

Ι Συνεχείς συναρτήσεις

1. Εισαγωγή
   1. Η παράγωγος στις πολλές διαστάσεις
2. Συνέχεια συναρτήσεων
   1. Τοπολογία των Ευκλειδείων χώρων
   2. Όρια και Συνέχεια συναρτήσεων
   3. Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιαμέσων τιμών
   4. Ομοιόμορφη συνέχεια

   ΙΙ Διαφορίσιμες Συναρτήσεις

3. Μερικές παράγωγοι και διαφορισιμότητα
   1. Μερικές παράγωγοι
   2. Κλίση και παράγωγος
   3. Ιδιότητες της κλίσης
4. Διαφορίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις
   1. Παραγώγιση διανυσματικών συναρτήσεων
5. Τύπος του Taylor και τοπικά ακρότατα
   1. Ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης
   2. Τοπικά ακρότατα
6. Θεώρημα Αντιστροφής & Πεπλεγμένων συναρτήσεων
   1. Θεώρημα Αντιστροφής
   2. Τοπική συμπεριφορά των μετασχηματισμών
   3. Θεώρημα των Πεπλεγμένων συναρτήσεων