Εξισώσεις Διαφορών και Eιδικές Συναρτήσεις

16,96 14,42

N-id: 0348 Κατηγορίες: , Σελίδες: 160 Σχήμα: 17 x 24 Xρονολογία: 1990 ISBN: 978-960-456-135-3 Κωδικός Ευδόξου: 11430 Εκδόσεις: Εκδόσεις Ζήτη

Το όριο συνάρτησης, η θεμελιώδης αυτή έννοια που άρχισε να διαμορφώνεται από την εποχή του Αρχιμήδη, είναι η κεντρική έννοια γύρω από την οποία αναπτύσσεται ο κλάδος της Μαθηματικής Ανάλυσης. Είναι γνωστές, βέβαια, στους διδάσκοντες οι δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές στην αφομοίωσή της σε ικανοποιητικό βαθμό ώστε να κατανοήσουν τις βασικές έννοιες του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού και των Διαφορικών Εξισώσεων. Οι Εξισώσεις Διαφορών, με τις οποίες επιτυγχάνονται αποτελέσματα ανάλογα εκείνων των Διαφορικών Εξισώσεων, έχουν αυτό το μεγάλο πλεονέκτημα ότι η παρουσίασή τους δεν προϋποθέτει τη γνώση της δυσνόητης έννοιας του ορίου. Οι εξισώσεις διαφορών αναπτύσσονται με απλό και κατανοητό τρόπο και δεν προαπαιτούν γνώσεις ειδικών μαθηματικών εννοιών, εκτός, βέβαια των στοιχειωδών. Για το λόγο αυτό σήμερα πολλοί μαθηματικοί πιστεύουν ότι η διδασκαλία τους μπορεί να αρχίσει και από τη Μέση Εκπαίδευση.
Επισημαίνεται ιδιαίτερα ότι η σπουδαιότητα των Εξισώσεων Διαφορών οφείλεται κυρίως στη ραγδαία εξέλιξη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών, οι οποίοι χρησιμοποιούν μαθηματικά μοντέλα με διακριτές αποκλειστικά μεταβλητές και όχι συνεχείς.
Ας σημειωθεί, επίσης, ότι η ελληνική αλλά και η ξένη βιβλιογραφία υστερεί σε ολοκληρωμένη παρουσίαση θεμάτων των Εξισώσεων Διαφορών. Το παρόν βιβλίο αναμένεται να καλύψει σημαντικό μέρος του κενού αυτού.
Το βιβλίο χωρίζεται σε δύο μέρη. Το πρώτο και βασικότερο μέρος περιέχει τη θεωρία των Εξισώσεων Διαφορών και το δεύτερο τις Ειδικές Συναρτήσεις για την εξαγωγή των οποίων χρησιμοποιούνται Εξισώσεις Διαφορών. Στο τέλος κάθε αυτοτελούς ενότητας υπάρχει περίληψη της θεωρίας για επανάληψη και εμπέδωση των εννοιών που αναφέρθηκαν και σημαντικός αριθμός άλυτων ασκήσεων με τις απαντήσεις τους.
Κατά τη διάρθρωση της ύλης δόθηκε έμφαση όχι στις λεπτομερείς θεωρητικές αποδείξεις, αλλά στη λύση πολλών επιλεγμένων αντιπροσωπευτικών παραδειγμάτων και εφαρμογών, όπως για παράδειγμα, στον Αυτόματο Έλεγχο και τη Χαοτική Θεωρία των Διακριτών Συστημάτων.


Περιεχόμενα

Μέρος Πρώτο: Εξισώσεις διαφορών
Κεφάλαιο Ι. Γραμμικές εξισώσεις διαφορών

  1. Εισαγωγή
  2. Ορισμοί. Ύπαρξη
  3. Γραμμικές εξισώσεις διαφορών πρώτης τάξης
  4. Εφαρμογές
  5. Γραμμικές εξισώσεις διαφορών ανώτερης τάξης
  6. Ομογενείς εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές
  7. Μη ομογενείς εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές
  8. Εφαρμογές

Κεφάλαιο ΙΙ. Γραμμικές εξισώσεις με μη σταθερούς συντελεστές

  1. Η μέθοδος της μεταβολής των παραμέτρων
  2. Υποβιβασμός της τάξης γραμμικής εξίσωσης
  3. Η εξίσωση διαφορών του Euler

Kεφάλαιο ΙΙΙ. Μη γραμμικές εξισώσεις διαφορών

  1. Ειδικά παραδείγματα μη γραμμικών εξισώσεων διαφορών
  2. Συναρτησιακές εξισώσεις διαφορών
  3. Ένα πρόβλημα χαρακτηριστικών τιμών
  4. Προσέγγιση διαφορικών εξισώσεων από εξισώσεις διαφορών

Κεφάλαιο IV. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων διαφορών

  1. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων διαφορών με σταθερούς συντελεστές
  2. Μη ομογενή γραμμικά συστήματα
  3. Μετασχηματισμός Ζ
  4. Μη αυτόνομα συστήματα εξισώσεων διαφορών

Κεφάλαιο V. Γενικές εφαρμογές εξισώσεων διαφορών

  1. Εισαγωγή
  2. Ελεγχόμενα συστήματα
  3. Παρατηρήσιμα συστήματα
  4. Ευστάθεια εξισώσεων διαφορών
  5. Ευστάθεια συστημάτων γραμμικών εξισώσεων διαφορών
  6. Εξισώσεις διαφορών και χάος

Μέρος δεύτερο: Ειδικές συναρτήσεις
Κεφάλαιο Ι. Ειδικές συναρτήσεις

  1. Συναρτήσεις που ορίζονται με γενικευμένα ολοκληρώματα
  2. Συνάρτηση γάμμα
  3. Συνάρτηση βήτα
  4. Συναρτήσεις που ορίζονται από λύσεις διαφορικών εξισώσεων
  5. Γεννήτρια συνάρτηση
  6. Συναρτήσεις Legendre
  7. Το πρόβλημα των Sturm Liouville