Μαθηματικά και Προγραμματισμός στο Mathematica

Το Mathematica, του οποίου η πρώτη έκδοση έγινε το 1988, είναι ένα υπολογιστικό σύστημα άλγεβρας γενικού σκοπού το οποίο υποστηρίζεται από ένα διαδραστικό περιβάλλον (δίνεις ερωτήσεις και παίρνεις πίσω απαντήσεις) που μας δίνει τη δυνατότητα αριθμητικών υπολογισμών, συμβολικού χειρισμού μαθηματικών συμβόλων και εκφράσεων, δημιουργίας δισδιάστατων αλλά και τρισδιάστατων γραφικών, αλλά και προγραμματισμού. Μάλιστα ένας από τους κύριους λόγους της επιτυχίας του Mathematica είναι η υψηλή γλώσσα προγραμματισμού που διαθέτει, η οποία δίνει τη δυνατότητα στο χρήστη να επεκτείνει τις δυνατότητες του ίδιου του συστήματος. Η γλώσσα που διαθέτει του δίνει την δυνατότητα να προγραμματίζει με πολλά και διαφορετικά στυλ, όπως με τη μέθοδο του διαδικασιακού προγραμματισμού (procedural programming, παρόμοια δηλαδή με τον προγραμματισμό σε γλώσσες υψηλού επιπέδου όπως η Fortan 95 και η C++), του συναρτησιακού προγραμματισμού (functional programming, όπως στην Lisp), και κανονοκεντρικού προγραμματισμού (rule based programming). Τέλος υπάρχει πλήρης συμφωνία μεταξύ της αγγλικής ορολογίας των μαθηματικών συναρτήσεων και των ονομάτων των συναρτήσεων του Mathematica, γεγονός που μας βοηθάει ιδιαίτερα, αν φανταστούμε ότι το Mathematica περιέχει περί τις 2000 συναρτήσεις.
Το βιβλίο αυτό δε θα μπορούσε με κανέναν τρόπο να καλύψει όλες τις εντολές που περιέχει το Mathematica, το manual του οποίου αποτελείται από 1447 σελίδες. Αντίθετα ο στόχος του βιβλίου είναι διττός:

• η εξοικείωση του αναγνώστη με βασικές εντολές του Mathematica που αφορούν τους τομείς της Aλγεβρας και της Ανάλυσης, και
• η εξοικείωση του αναγνώστη με τις διαφορετικές μεθόδους προγραμματισμού που υποστηρίζει το Mathematica. Αυτός είναι και ο λόγος του διαχωρισμού του βιβλίου σε δύο μέρη.

Πιο αναλυτικά, στο κεφάλαιο 1 γίνεται προσπάθεια εξοικείωσης του αναγνώστη με το περιβάλλον του Mathematica. Τα κεφάλαια 2-5 αφορούν εφαρμογές του Mathematica σε τομείς της Aλγεβρας. Πιο συγκεκριμένα, στο κεφάλαιο 2 προσπαθούμε να δώσουμε ορισμένες προκαταρκτικές έννοιες που έχουν σχέση με βασικές πράξεις, συναρτήσεις και σταθερές που χρησιμοποιούμε στο Mathematica. Στη συνέχεια γίνεται μια εισαγωγή στον τρόπο κατασκευής δικών μας συναρτήσεων, ο οποίος και χρησιμοποιείται σε όλα τα επόμενα κεφάλαια. Στο κεφάλαιο 3 περιγράφουμε τον τρόπο με τον οποίο δημιουργούμε και χειριζόμαστε έναν πίνακα ή ένα πολυώνυμο στο Mathematica. Μια νέα δομή δεδομένων, αυτή της λίστας, παρουσιάζεται στο κεφάλαιο αυτό και δίνονται διάφορες εντολές δημιουργίας της αλλά και χειρισμού της. Οι λίστες παίζουν σημαντικό ρόλο στη χρήση των συναρτήσεων όπως βλέπουμε στα επόμενα κεφάλαια. Το κεφάλαιο 4 ασχολείται με εφαρμογές του Mathematica στη μελέτη των φυσικών και ακέραιων αριθμών. Τέτοιες εφαρμογές είναι η εύρεση του ΜΚΔ ακεραίων αριθμών, η επίλυση της διοφαντικής εξίσωσης πάνω στο δακτύλιο των ακεραίων, η υλοποίηση της εικασίας του Goldbbach και τέλος η ανάπτυξη μεθόδων κρυπτογραφίας. Το κεφάλαιο 5 ασχολείται με επιμέρους τομείς της Γραμμικής Aλγεβρας, όπως οι γραμμικές συναρτήσεις, η αλλαγή βάσης, η διαγωνιοποίηση πίνακα και η επίλυση γραμμικών συστημάτων. Το κεφάλαιο 6 έχει ως αντικείμενο την επίλυση εξισώσεων ή και συστήματος εξισώσεων. Τα κεφάλαια 7-11 αφορούν εφαρμογές του Mathematica σε τομείς της Ανάλυσης. Πιο συγκεκριμένα, στο κεφάλαιο 7 μελετούνται τα όρια ακολουθιών αλλά και συναρτήσεων μιας ή και δύο μεταβλητών. Το κεφάλαιο 8 αφορά την παραγώγιση και ολοκλήρωση συναρτήσεων μιας ή και δύο μεταβλητών. Το κεφάλαιο 9 μελετά τη συμβολική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων, διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους, αλλά και συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. Στο κεφάλαιο 10 δείχνουμε τον τρόπο με τον οποίο υπολογίζουμε πεπερασμένα αλλά και άπειρα αθροίσματα και γινόμενα, ενώ δίνεται ο τρόπος με τον οποίο θα υπολογίσουμε τη σειρά Taylor μιας συνάρτησης. Η γραφική παράσταση συναρτήσεων μιας ή και δύο μεταβλητών οι οποίες μπορούν να οριστούν ακόμα και παραμετρικά ή με τη μορφή πεπλεγμένων συναρτήσεων δίνεται στο κεφάλαιο 11.
Το δεύτερο μέρος του βιβλίου είναι αφιερωμένο στον προγραμματισμό στο Mathematica. Στο κεφάλαιο 2.1 γίνεται μια εισαγωγή στην έννοια του προγραμματισμού και δίνεται μια μικρή εισαγωγή για τα κεφάλαια που ακολουθούν. Στα κεφάλαια 2.2, 2.3 και 2.4 αναπτύσσονται οι μεθοδολογίες του διαδικασιακού, συναρτησιακού και κανονοκεντρικού προγραμματισμού αντίστοιχα. Τέλος, στο κεφάλαιο 2.5 δείχνουμε τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα δικό μας πακέτο συναρτήσεων.
Το μέρος της Aλγεβρας (κεφάλαια 1-5) έχει επιμεληθεί ο Επικ. Καθηγητής Ε. Ψωμόπουλος ο οποίος εργάζεται στον Τομέα Aλγεβρας του Τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ., ενώ τα κεφάλαια 6-11 που αποτελούν μέρος της Ανάλυσης ο Επικ. Καθηγητής Σ. Σταματάκης ο οποίος και εργάζεται στον Τομέα Γεωμετρίας του ίδιου Τμήματος. Το δεύτερο μέρος του βιβλίου έχει επιμεληθεί ο Επικ. Καθ. Ν. Καραμπετάκης που εργάζεται στον Τομέα Επιστήμης Η/Υ & Αριθμητικής Ανάλυσης του ίδιου Τμήματος. Αρχικός στόχος του βιβλίου ήταν η κάλυψη των αναγκών του μαθήματος «Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού» που διδάσκεται στο Τμήμα Μαθηματικών του Α.Π.Θ.. Στη συνέχεια όμως, προστέθηκαν επιμέρους κεφάλαια και ενότητες με στόχο την ολοκλήρωση της ύλης. Σήμερα το Mathematica είναι ένα βασικό εργαλείο του επιστήμονα που ασχολείται με τα Μαθηματικά, την Πληροφορική, τις φυσικές επιστήμες, τη μηχανική και τεχνολογία και συνεπώς, το βιβλίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί από άτομα που ασχολούνται με τους παραπάνω τομείς σπουδών.

Εδώ θα μπορούσαμε να προσθέσουμε ότι το βιβλίο αυτό αφορά και εκπαιδευτικούς της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης που θα ήθελαν να εφαρμόσουν όλες αυτές τις δυνατότητες που δίνει το Mathematica στην τάξη.

Περιεχόμενα:

Μέρος 1. Μαθηματικά μέσω Mathematica

1. Κεφάλαιο Ι. Βασικά Χαρακτηριστικά
2. Προκαταρκτικές έννοιες
3. Λίστες, Πίνακες, Πολυώνυμα
4. Οι φυσικοί και οι ακέραιοι αριθμοί
5. Γραμμική Αλγεβρα
6. Επίλυση εξισώσεων και συστημάτων
7. Όρια ακολουθιών και συναρτήσεων
8. Παραγώγιση και ολοκλήρωση
9. Διαφορικές εξισώσεις
10. Αθροίσματα, Γινόμενα, Σειρές, Σειρές δυνάμεων
11. Γραφικές παραστάσεις

Μέρος 2. Προγραμματισμός στο Mathematica

1. Προγραμματισμός
2. Διαδικασιακός Προγραμματισμός
3. Συναρτησιακός Προγραμματισμός
4. Κανονοκεντρικός Προγραμματισμός
5. Δημιουργία Πακέτων

Παράρτημα Α. Λογικό Διάγραμμα