Η χρησιμότητα της Γραμμικής Αλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία της. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το μάθημα αυτό καλείται να βοηθήσει πολλούς κλάδους επιστημών, ώστε να γίνουν περισσότερο κατανοητοί, και ευκολότερα διαχειρίσιμοι.
Σε σχετικά σύντομο χρονικό διάστημα η Γραμμική Αλγεβρα έγινε όχι μόνον απαραίτητη, αλλά και χρήσιμη, και πάνω από όλα εφαρμόσιμη. Όλο και περισσότεροι, από διάφορες επιστήμες όπως Φυσική, Μηχανική, Στατιστική, Πληροφορική, Οικονομικά, αλλά και Βιολογία, χρησιμοποιούν τεχνικές και μεθόδους από τη Γραμμική Αλγεβρα για να επιλύσουν προβλήματα που τους απασχολούν. Οι ανάγκες όμως της κάθε επιστήμης δεν είναι ίδιες. Αλλες φορές, όπως για παράδειγμα σε ένα Τμήμα Μαθηματικών, είναι απαραίτητη μια αυστηρά μαθηματική προσέγγιση, και άλλες φορές χρειάζεται μια περισσότερο απλή προσέγγιση, χωρίς όμως να χάνεται ο στόχος της Γραμμικής Αλγεβρας.
Το βιβλίο αυτό απευθύνεται κυρίως στους φοιτητές του Τμήματος Πληροφορικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, και περιέχει τη διδακτέα ύλη του εξαμηνιαίου μαθήματος «Γραμμική Αλγεβρα». Έγινε προσπάθεια ώστε η παρουσίαση να είναι απλή και κατανοητή, κυρίως μέσα από παραδείγματα, και λιγότερο μέσα από αποδείξεις θεωρημάτων. Αυτό δεν σημαίνει ότι οι αποδείξεις απουσιάζουν. Υπάρχουν για όλα τα θεωρήματα και καλούν τον κάθε ενδιαφερόμενο για μια περισσότερο αυστηρή μελέτη. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να αναφέρουμε ότι οι πολλές αποδείξεις εισάγουν ταυτόχρονα και μια μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων, γεγονός που τις κάνει απαραίτητες. Έτσι, η παρουσίασή τους είναι κατά το δυνατόν απλή, ώστε να γίνεται ευκολότερα κατανοητή.
Το βιβλίο «Γραμμική Αλγεβρα» περιέχει επτά κεφάλαια. Στο πρώτο εισάγεται η έννοια του πίνακα, μια θεμελιώδης έννοια για πολλούς κλάδους, μέσα από την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζεται η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα, και ολοκληρώνεται η μελέτη των γραμμικών συστημάτων. Παράλληλα, ορίζεται ο αντιστρέψιμος πίνακας, και αναπτύσσονται μέθοδοι εύρεσης του αντίστροφου ενός τέτοιου πίνακα. Στο τρίτο κεφάλαιο δίνεται για πρώτη φορά η έννοια του διανυσματικού χώρου, και μελετώνται απλές ιδιότητες που τους αφορούν. Οι διανυσματικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο εισάγονται στο επόμενο κεφάλαιο, ενώ στο πέμπτο κεφάλαιο αντιμετωπίζεται το πρόβλημα της αλλαγής βάσης σε ένα διανυσματικό χώρο. Στα δύο τελευταία κεφάλαια, όπου χρησιμοποιούνται όλα όσα προαναφέρονται, μελετώνται οι γραμμικοί μετασχηματισμοί, σε συνδυασμό με τους πίνακες. Έτσι, αντιμετωπίζεται εύκολα, και σχεδόν με φυσικό τρόπο, το πρόβλημα της διαγωνιοποίησης ενός πίνακα. H θεωρία εμπλουτίζεται με πολλά παραδείγματα, τα οποία αποσκοπούν στην καλύτερη κατανόηση των εννοιών της Γραμμικής Αλγεβρας. Κάθε παράγραφος συνοδεύεται από ασκήσεις, πολλές από τις οποίες είναι απλή εφαρμογή της θεωρίας, ενώ άλλες την επεκτείνουν.
Στο τέλος του βιβλίου υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων, οι οποίες στηρίζονται σε όλα τα θέματα που αναπτύσσονται στη θεωρία. Για κάθε μια από αυτές δίνεται αναλυτική υπόδειξη.
Περιεχόμενα
1 Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες
- Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων
- Ασκήσεις
- Μέθοδος απαλοιφής Gauss
- Ασκήσεις
- Πράξεις πινάκων
- Ασκήσεις
- Ο αντίστροφος πίνακας
- Ασκήσεις
2 Ορίζουσες
- Ορισμός ορίζουσας
- Ιδιότητες οριζουσών
- Ασκήσεις
- Ο αντίστροφος πίνακας
- Συστήματα Cramer
- Ασκήσεις
3 Διανυσματικοί χώροι
- Ορισμοί και απλές ιδιότητες
- Ασκήσεις
- Διανυσματικοί υποχώροι
- Ασκήσεις
- Διανυσματικοί χώροι παραγόμενοι από σύνολα
- Βαθμίδα διανυσμάτων και πίνακα
- Ασκήσεις
4 Διανυσματικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο
- Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
- Ασκήσεις
5 Αλλαγή βάσης
- Ο πίνακας μετάβασης
- Ασκήσεις
- Ορθογώνιοι πίνακες
- Ασκήσεις
6 Γραμμικές συναρτήσεις
- Οι πρώτοι ορισμοί
- Ασκήσεις
- Πίνακας μετασχηματισμού
- Ασκήσεις
7 Χαρακτηριστικά στοιχεία πίνακα
- Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
- Ασκήσεις
- Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πίνακα
- Ασκήσεις
- Συμμετρικοί πίνακες
- Ασκήσεις
8 Γενικές Ασκήσεις
Βιβλιογραφία
