Εισαγωγή στη Γεωμετρία των Αλγεβρικών Καμπυλών

16,96 14,42

N-id: 1195 Κατηγορίες: , , Σελίδες: 176 Σχήμα: 17 x 24 Xρονολογία: 2006 ISBN: 960-456-013-1 Κωδικός Ευδόξου: 11250 Εκδόσεις: Εκδόσεις Ζήτη

Η θεωρία των Αλγεβρικών Καμπυλών είναι ένας από τους παλαιότερους κλάδους των μαθηματικών. Στην αρχαιότητα απλές καμπύλες, όπως ευθείες, κύκλοι κ.τ.λ. χρησιμοποιούνται για επίλυση πρακτικών προβλημάτων, όπως κατασκευές οικοδομημάτων, μέτρηση γης κ.τ.λ.. Αργότερα, οι κωνικές τομές, ο κισσοειδής του Διοκλέους, ο κονγχοειδής του Νικομήδους και άλλες καμπύλες χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση κλασσικών προβλημάτων της αρχαιότητας. Από τότε μέχρι σήμερα η θεωρία των Αλγεβρικών Καμπυλών αναπτύχθηκε σε μεγάλο βαθμό, όχι μόνο για την ποικιλία των μεθόδων της και τα ανοικτά προβλήματα που περιέχει, αλλά και για τις πολλές εφαρμογές της σε κλάδους, όπως η Αστρονομία, Οπτική, Αρχιτεκτονική, Κινηματική, Μηχανική, κ.α.. Ας σημειωθεί ότι την τελευταία εικοσαετία οι Αλγεβρικές Καμπύλες έχουν σημαντική συνεισφορά στην Κρυπτογραφία, στους Κώδικες Διορθωτές Λαθών και την Ρομποτική.


Σκοπός του παρόντος βιβλίου είναι να δώσει μία απλή εισαγωγή στη Γεωμετρία των Αλγεβρικών Καμπυλών. Απαραίτητες γνώσεις για την κατανόησή του είναι η βασική Γραμμική Αλγεβρα και η βασική θεωρία των Αλγεβρικών Δομών. Μέρος του καλύπτει την ύλη του μαθήματος Αλγεβρικές Καμπύλες το οποίο διδάσκεται στο τέταρτο έτος του Τμήματος Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης.
Το πρώτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στο πολυωνυμικό δακτύλιο Α[Χ1, …, Xn] υπεράνω ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου Α. Περιγράφεται η κατασκευή του και αποδεικνύεται ότι είναι δακτύλιος με μοναδική παραγοντοποίηση, στη περίπτωση όπου ο Α έχει αυτή την ιδιότητα. Επίσης μελετάται η ευκλείδεια διαίρεση, η παραγώγιση και η απαλείφουσα δύο πολυωνύμων. Τέλος δίνονται μερικά αποτελέσματα επί των μιγαδικών πολυωνύμων μία απροσδιόριστης, μεταξύ των οποίων και μία αρκετά απλή απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Αλγεβρας.
Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγονται οι αλγεβρικές καμπύλες του C2 και εξετάζονται βασικές τους ιδιότητες. Ειδικότερα, μελετάται η σχέση ισοδυναμίας τους, ο αριθμός τομής καμπύλης και ευθείας σ’ ένα σημείο, τα ανώμαλα σημεία τους, οι εφαπτόμενες ευθείες και τέλος οι ρητές καμπύλες.
Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια του προβολικού χώρου και των προβολικών αλγεβρικών καμπυλών. Εξετάζεται η σχέση μεταξύ των καμπυλών του C2 και των προβολικών καμπυλών, και μελετώνται αντίστοιχα θέματα μ’ αυτά που διαπραγματεύθηκε το δεύτερο κεφάλαιο.
Το τέταρτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στη δομή δύο προβολικών καμπυλών. Ορίζεται ο αριθμός τομής δύο προβολικών καμπυλών σ’ ένα σημείο και αποδεικνύεται το κλασσικό θεώρημα του Bezout. Τέλος εξετάζεται η σχέση του αριθμού τομής με την πολλαπλότητα της κάθε μίας από τις δύο καμπύλες σ’ αυτό το σημείο.
Τα γραμμικά συστήματα προβολικών καμπυλών και οι βασικές τους ιδιότητες μελετώνται στο πέμπτο κεφάλαιο. Επίσης, χρησιμοποιούνται για τη μελέτη των ανωμάλων σημείων των προβολικών καμπυλών και την απόδειξη του κλασσικού θεωρήματος του Pascal.
Τέλος, το αντικείμενο του πέμπτου κεφαλαίου είναι οι κυβικές. Δίνεται μία ταξινόμησή τους με την βοήθεια της σχέσης ισοδυναμίας των προβολικών καμπυλών και δομείται το σύνολο των ομαλών σημείων τους σε αντιμεταθετική ομάδα.


Περιεχόμενα

1. Πολυώνυμα

  1. Ο Δακτύλιος των Πολυωνύμων
  2. Δακτύλιοι με Μοναδική Παραγοντοποίηση
  3. Ευκλείδεια Διαίρεση
  4. Παραγώγιση Πολυωνύμων
  5. Απαλείφουσα Δύο Πολυωνύμων
  6. Μιγαδικά Πολυώνυμα
  7. Ασκήσεις

2. Επίπεδες καμπύλες

  1. Σύνολο Σημείων Επίπεδης Καμπύλης
  2. Μετασχηματισμοί του C2
  3. Κωνικές
  4. Αριθμός Τομής
  5. Ανώμαλα Σημεία
  6. Εφαπτόμενες Ευθείες
  7. Ρητές Καμπύλες
  8. Ασκήσεις

3. Προβολικές Καμπύλες

  1. Ο Προβολικός Χώρος
  2. Ευθείες στο Προβολικό Επίπεδο
  3. Προβολικοί Μετασχηματισμοί
  4. Ισοδυναμία Προβολικών Καμπυλών
  5. Αριθμός Τομής
  6. Ανώμαλα Σημεία
  7. Εφαπτόμενες Ευθείες
  8. Σημεία Καμπής
  9. Ρητές Προβολικές Καμπύλες
  10. Ασκήσεις

4. Τομή Καμπυλών

  1. Αριθμός Τομής
  2. Το θεώρημα του Bezout
  3. Πολλαπλότητα και Αριθμός Τομής
  4. Ασκήσεις

5. Γραμμικά Συστήματα Καμπυλών

  1. Προβολικοί Υποχώροι
  2. Προβολικοί Χώροι Καμπυλών
  3. Διάσταση Συστήματος Καμπυλών
  4. Εφαρμογή στα Ανώμαλα Σημεία
  5. Το Θεώρημα του Pascal
  6. Ασκήσεις

6. Κυβικές

  1. Ταξινόμηση Κυβικών
  2. Νόμος Πρόσθεσης επί Κυβικής
  3. Η Ομάδα μίας Ανώμαλης Κυβικής
  4. Υπολογισμός του Αθροίσματος
  5. Ασκήσεις