Αλγεβρική Γεωμετρία

H Αλγεβρική Γεωμετρία είναι ένας από τους κεντρικούς κλάδους των Μαθηματικών με μεγάλο θεωρητικό ενδιαφέρον, αλλά και πολλές σημαντικές εφαρμογές στην κρυπτογραφία, στους κώδικες διορθωτές λαθών, στη ρομποτική, στο σχεδιασμό γραφικών κ.λπ.
Αλγεβρικές Καμπύλες συναντάμε στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση διάφορων κλασικών προβλημάτων, όπως για παράδειγμα του διπλασιασμού του κύβου και της τριχοτόμησης της γωνίας.
Σκοπός του παρόντος συγγράμματος είναι να δώσει μία εισαγωγή στη Θεωρία των Αλγεβρικών Πολλαπλοτήτων.

Οι ενότητες που περιλαμβάνει είναι οι εξής:

1. Τοπολογικοί χώροι
2. Θεμελειώδεις πολλαπλότητες
3. Προβολικές πολλαπλότητες
4. Μορφισμοί πολλαπλοτήτων
5. Γινόμενα πολλαπλοτήτων
6. Διάσταση
7. Τοπικές ιδιότητες
8. Θέματα μελέτης

Περιεχόμενα

1 Τοπολογικοί Χώροι

1. Ορισμοί – Παραδείγματα
2. Περιοχές
3. Κλειστά Σύνολα
4. Συνεχείς Απεικονήσεις
5. Συμπαγείς Χώροι
6. Ανάγωγα Σύνολα
7. Νοθεριανοί Τοπολογικοί Χώροι
8. Ασκήσεις

2 Θεμελειώδεις Πολλαπλότητες

1. Αλγεβρικά Σύνολα
2. Ιδεώδες Συνόλου
3. Το Θεώρημα των Ριζών
4. Ο Δακτύλιος Συντεταγμένων
5. Ασκήσεις

3 Προβολικές Πολλαπλότητες

1. Προβολικά Αλγεβρικά Σύνολα
2. Ιδεώδες Συνόλου
3. Το Προβολικό Θεώρημα των Ριζών
4. Προβολικό Κάλυμμα
5. Ασκήσεις

4 Μορφισμοί Πολλαπλοτήτων

1. Κανονικές Συναρτήσεις
2. Σώμα Συναρτήσεων
3. Βασικές Ιδιότητες των Μορφισμών
4. Πεπερασμένοι Μορφισμοί
5. Ρητές Απεικονίσεις
6. Ασκήσεις

5 Γινόμενα Πολλαπλοτήτων

1. Γινόμενο Θεμελιωδών Πολλαπλοτήτων
2. Γινόμενο Προβολικών Πολλαπλοτήτων
3. Εικόνα Προβολικής Πολλαπλότητας
4. Ασκήσεις

6 Διάσταση

1. Διάσταση Πολλαπλότητας
2. Διάσταση και Τομή Πολλαπλοτήτων
3. Άλλοι Χαρακτηρισμοί της Διάστασης
4. Διάσταση και Μορφισμοί
5. Ασκήσεις

7 Τοπικές Ιδιότητες

1. Εφαπτόμενος χώρος
2. Απλά και Ανώμαλα Σημεία
3. Η Περίπτωση των Καμπυλών
4. Ασκήσεις

8 Θέματα Μελέτης

1. Φάσμα Δακτυλίου
2. Επίπεδες Καμπύλες
3. Ο μορφισμός του Veronese

Βιβλιογραφία
Ευρετήριο όρων