Εισαγωγή στις Διαφορικές Eξισώσεις Mερικών Παραγώγων

Το βιβλίο αποτελεί μια εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις Μερικών Παραγώγων και απευθύνεται, κυρίως, σε σπουδαστές Πολυτεχνικών και Φυσικομαθηματικών Σχολών, οι οποίοι έχουν παρακολουθήσει τα βασικά μαθήματα της Αναλύσεως και των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων.
Στο κεφάλαιο 1 γίνεται η μαθηματική μοντελοποίηση φυσικών προβλημάτων, που οδηγεί στις γνωστές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) της Μαθηματικής Φυσικής.
Εκτενής μελέτη των γραμμικών και μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξεως γίνεται στο κεφάλαιο 2.
Στο κεφάλαιο 3 γίνεται η ταξινόμηση των μερικών διαφορικών εξισώσεων 2ας τάξεως σε υπερβολικές, παραβολικές και ελλειπτικές και αναπτύσσεται η μεθοδολογία για την αναγωγή τους σε κανονική μορφή.
Στο κεφάλαιο 4 αναπτύσσεται η θεωρία των σειρών Fourier, που είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο στη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων.
Στο κεφάλαιο 5 επιλύονται, με χωρισμό των μεταβλητών, μονοδιάστατα προβλήματα, όπως της παλλόμενης χορδής, της θερμικής αγωγιμότητάς και της εγκάρσιας ταλάντωσης δοκού. Στη συνέχεια εξετάζονται μονοδιάστατα μη ομογενή προβλήματα.
Προβλήματα ιδιοτιμών Sturm-Liouville μελετώνται στο κεφάλαιο 6. Η θεωρία που αφορά στα προβλήματα αυτά είναι σημαντική για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων με χωρισμό των μεταβλητών καθώς επίσης στην επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων.
Στο κεφάλαιο 7 αναπτύσσεται η τεχνική επίλυσης δισδιάστατων προβλημάτων, όπως της παλλόμενης μεμβράνης, της εξισώσεως θερμότητας και της εξισώσεως Laplace σε ορθογώνιο και σε κύκλο, όπου οι συναρτήσεις Bessel και η ορθογωνιότητά τους παίζουν ένα σημαντικό ρόλο.
Στο κεφάλαιο 8, κάνοντας χρήση της μεθόδου αναπτύγματος σε ιδιοσυναρτήσεις, εξετάζονται μη ομογενή δισδιάστατα προβλήματα σε ορθογώνιο και σε κύκλο.
Στο κεφάλαιο 9 μελετώνται τρισδιάστατα προβλήματα, που αφορούν στις βασικές εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής (όπως κυματική, θερμότητας και Laplace), σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο και σε κυλινδρικά και σφαιρικά πεδία. Εκτός των συναρτήσεων Bessel και τα πολυώνυμα Legendre και οι ιδιότητες ορθογωνιότητος αυτών παίζουν ιδιαίτερο ρόλο στην μελέτη των προβλημάτων αυτών.
Η έννοια του μετασχηματισμού Fourier και οι βασικές ιδιότητές του παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 10. Στη συνέχεια δίνονται εφαρμογές του σε προβλήματα που ορίζονται σε μη φραγμένα πεδία.
Στο κεφάλαιο 11 παρουσιάζονται τα σημαντικότερα προβλήματα συνοριακών τιμών. Με τη βοήθεια θεωρημάτων αναπαραστάσεως αποδεικνύονται βασικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων, όπως η αρχή του μεγίστου, η οποία χρησιμοποιείται για την καλή τοποθέτηση του προβλήματος Dirichlet. Στη συνέχεια ορίζεται η έννοια της συναρτήσεως Green και δίνονται οι βασικές της ιδιότητες. Με τη βοήθεια της συναρτήσεως αυτής δίνεται η ολοκληρωτική αναπαράσταση της λύσεως του προβλήματος Dirichlet. Τέλος, με τη χρήση της μεθόδου των ειδώλων, υπολογίζεται η συνάρτηση Green για σφαίρα, ημίχωρο και ημιεπίπεδο.
Εφαρμογές των μετασχηματισμών Laplace και Hankel σε προβλήματα συνοριακών τιμών, που αφορούν σε μη φραγμένα πεδία δίνονται στο κεφάλαιο 12.
Τέλος, στο κεφάλαιο 13 μελετάται η εξίσωση Schrödinger, σημαντική εξίσωση της Κβαντομηχανικής, και δίνεται η λύση α) στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή με τη βοήθεια των πολυωνύμων Hermite και β) στην περίπτωση του ατόμου του Υδρογόνου με τη βοήθεια των πολυωνύμων Laguerre. Με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier εξετάζεται η εξίσωση του τηλεγράφου.
Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν επιλεγμένες ασκήσεις για την εμπέδωση της θεωρίας, σε περισσότερες δε από αυτές υπάρχουν οι απαντήσεις στο τέλος του βιβλίου. Παρατίθενται επίσης πίνακες των μετασχηματισμών Fourier.

Περιεχόμενα:

1. Διαφορικές εξισώσεις μερικών παραγώγων
2. Mερικές διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξεως
3. Tαξινόμηση διαφορικών εξισώσεων 2ας τάξεως
4. Σειρές Fourier
5. Mονοδιάστατα προβλήματα – Mέθοδος χωρισμού μεταβλητών
6. Προβλήματα ιδιοτιμών Sturm – Liouville
7. Δισδιάστατα προβλήματα
8. Mη ομογενή προβλήματα – Mέθοδος αναπτύγματος σε ιδιοσυναρτήσεις
9. Tρισδιάτατα προβλήματα
10. O μετασχηματισμός Fourier
11. Προβλήματα συνοριακών τιμών – Συναρτήσεις Green
12. Eφαρμογές των μετασχηματισμών Laplace και Hankel
13. Eφαρμογές
    • Πίνακες
    • Aπαντήσεις επιλεγμένων ασκήσεων