Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων, Tόμος II

Το βιβλίο αυτό περιέχει τμήμα της ύλης του εξαμηνιαίου μαθήματος «Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων» που διδάσκεται στους φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης και είναι συνέχεια του βιβλίου, το οποίο τιτλοφορείται «Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων» τόμος Ι. Γι’ αυτό και η αρίθμηση των κεφαλαίων και των σχημάτων είναι συνέχεια των αντίστοιχων αριθμήσεων του πρώτου τόμου.
Σκοπός των δύο αυτών βιβλίων είναι η εισαγωγή στα βασικότερα κεφάλαια της Θεωρίας των Μιγαδικών Συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής, τα οποία είναι χρήσιμα σε πολλούς κλάδους των Μαθηματικών και της Φυσικής.
Κατά τη συγγραφή του βιβλίου αυτού καταβλήθηκε ιδιαίτερη προσπάθεια για την απλή παρουσίαση του κειμένου. Γι’ αυτό πολλές αποδείξεις θεωρημάτων που υπερέβαιναν τα όρια του στοιχειώδους αυτού βιβλίου παραλείφθηκαν και δόθηκαν όσο το δυνατό περισσότερα παραδείγματα για να γίνουν πιο κατανοητές διάφορες καινούργιες έννοιες.
Στο έβδομο κεφάλαιο με τίτλο «Γενίκευση του μιγαδικού επικαμπύλιου ολοκληρώματος» αναφέρεται πληροφοριακά η γενική περίπτωση του μιγαδικού ολοκληρώματος και του μιγαδικού απόλυτου ολοκληρώματος. Επίσης, επισημαίνεται το γεγονός ότι οι ορισμοί του μιγαδικού (αντίστ. μιγαδικού απόλυτου) ολοκληρώματος που δόθηκαν στο έκτο κεφάλαιο είναι ειδικές περιπτώσεις των αντίστοιχων γενικών ορισμών που δίνονται στο κεφάλαιο αυτό.
Στο όγδοο κεφάλαιο που τιτλοφορείται «Θεώρημα και ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy» ορίζονται αρχικά οι έννοιες του απλού δρόμου και του απλού συναφούς τόπου και στη συνέχεια δίνεται ένα από τα βασικότερα θεωρήματα της θεωρίας των Μιγαδικών Συναρτήσεων, το θεώρημα του Cauchy. To θεώρημα αυτό διατυπώθηκε και αποδείχτηκε από τον Cauchy το 1825. Το 1900 όμως ο Goursat βελτίωσε σημαντικά το θεώρημα αυτό. Γι’ αυτό λέγεται και θεώρημα των Cauchy-Goursat. Η σημασία του θεωρήματος των Cauchy-Goursat ήταν πολύ σημαντική στην ανάπτυξη της θεωρίας των Μιγαδικών Συναρτήσεων, γιατί πολλά θεωρήματα εξαρτώνται άμεσα ή έμμεσα από το θεώρημα αυτό. Κατόπιν αναφέρεται και αποδεικνύεται ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy καθώς επίσης και ορισμένα αξιοσημείωτα θεωρήματα, όπως το θεώρημα του Liouville, το θεμελιώδες θεώρημα της Aλγεβρας, το θεώρημα της μέσης τιμής του Gauss για τις μιγαδικές συναρτήσεις, κ.ά.
Το ένατο κεφάλαιο με τίτλο «Δυναμοσειρές» ασχολείται με μια από τις πιο ενδιαφέρουσες κατηγορίες σειρών συναρτήσεων, τις δυναμοσειρές. Εισάγεται η έννοια της ακτίνας σύγκλισης δυναμοσειράς, δίνεται το θεώρημα των Cauchy-Hadamard και ορισμένα άλλα θεωρήματα που αναφέρονται στην παραγώγιση και ολοκλήρωση δυναμοσειρών.
Το κεφάλαιο δέκα έχει τίτλο «Αναπτύγματα του Taylor και του Laurent». Aφού αναφερθεί το ανάπτυγμα του Taylor, επεκτείνεται η έννοια της αναλυτικότητας των πραγματικών συναρτήσεων στις μιγαδικές συναρτήσεις και στη συνέχεια αποδεικνύεται ότι η έννοια της αναλυτικότητας των μιγαδικών συναρτήσεων ταυτίζεται με την έννοια της ολομορφίας. Επίσης αναφέρονται θεωρήματα σχετικά με τις ρίζες των αναλυτικών συναρτήσεων, όπως η αρχή του ορίσματος, το θεώρημα του Rouché κ.ά.
Κατόπιν δίνονται προτάσεις που οδηγούν στα αξιοσημείωτα θεωρήματα της ταυτότητας των αναλυτικών συναρτήσεων και στην αρχή του μεγίστου (αντιστ. ελαχίστου) μέτρου.
Μελετάται το ανάπτυγμα Laurent σε ανοικτό δακτύλιο, εισάγεται η έννοια του απομονωμένου ανώμαλου σημείου και εξετάζονται οι τρεις κατηγορίες απομονωμένων ανώμαλων σημείων, τα απαλείψιμα ανώμαλα σημεία, οι πόλοι και τα ουσιώδη ανώμαλα σημεία. Επίσης, μελετάται το Ξ ως απομονωμένο ανώμαλο σημείο μιγαδικής συνάρτησης. Τέλος αναφέρονται δύο ενδιαφέρουσες κατηγορίες μιγαδικών συναρτήσεων, οι ακέραιες και οι μερόμορφες συναρτήσεις.
Στο τελευταίο κεφάλαιο, το έντεκα που έχει τίτλο «Ολοκληρωτικά υπόλοιπα – Εφαρμογές» εισάγεται αρχικά η έννοια του ολοκληρωτικού υπολοίπου και στη συνέχεια εξετάζονται περιπτώσεις υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων.

Περιεχόμενα

7. Γενίκευση του μιγαδικού ολοκληρώματος με προσαρμοσμένα αθροίσματα

1. Η έννοια του μιγαδικού ολοκληρώματος με προσαρτημένα αθροίσματα
2. Ισοδύναμοι δρόμοι

8. Θεώρημα και Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy

1. Απλοί δρόμοι και απλά συναφείς τόποι
2. Το θεώρημα του Cauchy
3. Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy
4. Ορισμένα αξιοσημείωτα θεωρήματα

9. Δυναμοσειρές

1. Εισαγωγικά
2. Σύγκλιση δυναμοσειρών
3. Παραγώγιση και ολοκλήρωση δυναμοσειρών

10. Αναπτύγματα του Τaylor και του Laurent

1. Αναπτύγματα του Taylor
2. Αναλυτικές συναρτήσεις
3. Ταυτισμός ολόμορφων μιγαδικών συναρτήσεων
4. Ρίζες ολόμορφων μιγαδικών συναρτήσεων
5. Η αρχή του μεγίστου και του ελαχίστου μέτρου
6. Ανάπτυγμα Laurent
7. Απομονωμένα ανώμαλα σημεία
8. Το άπειρο ως απομονωμένο ανώμαλο σημείο
9. Ακέραιες συναρτήσεις
10. Μερόμορφες συναρτήσεις

11. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα. Εφαρμογές

1. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα μιγαδικών συναρτήσεων σε απομονωμένα ανώμαλα σημεία του C
2. Ολοκληρωτικό υπόλοιπο στο +άπειρο
3. Ολοκληρώματα της μορφής [ολοκλήρωμα (2x/0)] F(cost, sint)dt
4. Ολοκληρώματα της μορφής [ολοκλήρωμα (+άπειρο)/-άπειρο)] [P(x)/Q(x)]dx
5. Ολοκληρώματα της μορφής [ολοκλήρωμα (+άπειρο)/-άπειρο)] [P(x)/Q(x)]e^iαxdx