Μαθήματα Ολοκληρωτικού Λογισμού Μίας Μεταβλητής

Το εγχειρίδιο αυτό είναι η τακτοποίηση των πρόχειρων σημειώσεών μου για το μάθημα του “Λογισμού ΙΙ”, που διδάσκω στο Τμήμα Μαθηματικών του ΑΠΘ.
Οι πρόχειρες σημειώσεις αντιστοιχούν πάντα στην άποψη του συγγραφέα για το μάθημα που διδάσκει, δηλαδή για τα αντικείμενα, τα θεωρήματα και τις τεχνικές που αποτελούν τον κορμό του μαθήματος, καθώς και την παρουσίασή τους, ώστε να “περάσουν” καλύτερα στο κοινό των διδασκομένων.
Σε μια δεύτερη φάση και μετά την πρώτη παρουσίασή τους στην τάξη, διορθώνονται παραλείψεις και λάθη, προστίθενται ή αφαιρούνται παράγραφοι, παραδείγματα και ασκήσεις, ώστε το σώμα να γίνει πληρέστερο και πιο συμπαγές, ενώ αποτυπώνεται και η εμπειρία της πρώτης επαφής με το κοινό. Αυτές είναι, κατά τη γνώμη μου, οι γενικές αρχές.
Κι επειδή το τέλειο εγχειρίδιο, για όλα τα μήκη και πλάτη, για όλα τα ακροατήρια και για όλες τις εποχές δεν έχει, ευτυχώς ακόμα, γραφεί (αλλοιώς εμείς οι πανεπιστημιακοί δάσκαλοι θα υποβιβαζόμασταν σε μεταφραστές, αντιγραφείς ή ακόμα σε χειριστές βίντεο προζέκτορα), όταν “κτίζουμε” ένα νέο μάθημα πρέπει πρώτα να διαμορφώσουμε την άποψή μας γι αυτό.
Αν τύχει και το διδάσκουμε πολλά χρόνια από τότε που το διδαχθήκαμε εμείς και η ανάμνηση της διδαχής αυτής, αν ήταν καλή, έχει ξεθωριάσει, ή αν δεν το διδαχθήκαμε ποτέ, τότε η άποψή μας διαμορφώνεται από διαβάσματα σε συνδυασμό με την γνώμη που έχουμε αποκομίσει με την τριβή μας με τα αντικείμενα, τα θεωρήματα και τα εργαλεία του μαθήματος, από την δραστηριότητά μας ως ερευνητές ή διδάσκοντες.

Όπως έλεγα παλαιότερα στα “Μαθήματα” των Λογισμών πολλών μεταβλητών που συνέγραψα με τους Ν. Μαντούβαλο και Ν. Δανίκα, “προσπαθήσαμε να κρατήσουμε την ισορροπία ανάμεσα στην Ανάλυση και τον Λογισμό. Ο φοιτητής πρέπει να καταλάβει τις έννοιες και τα θεωρήματα, αλλά και να μάθει να λογαριάζει.
Η έλλειψη του ενός εκ των δύο οδηγεί σε επικίνδυνες ατραπούς. Έτσι, όλα τα βαρειά θεωρήματα δίνονται με πλήρεις αποδείξεις.
Η επεξεργασία των αποδείξεων, ώστε να παρουσιαστούν όσο το δυνατόν πιο καθαρές και εύληπτες, ήταν και χρονοβόρα και κουραστική. Ελπίζουμε να τα καταφέραμε. Αλλά αυτό θα μας το πουν οι φοιτητές μας.
Τα θεωρήματα και οι ορισμοί συνοδεύονται από πληθώρα επιλεγμένων παραδειγμάτων, ώστε να εμπεδωθεί και να εφαρμοστεί η θεωρία, και να μάθει ο φοιτητής να λογαριάζει”.
Τέλος, ελπίζω τα “Μαθήματα” να βοηθήσουν τους φοιτητές να κατανοήσουν τον πολύ σημαντικό Ολοκληρωτικό Λογισμό, που μαζί με τον Διαφορικό, παιδιά του Νεύτωνα και του Leibnitz, έδρεψαν δάφνες με τις εφαρμογές τους τον 17ο και 18ο αιώνα και έγιναν πρωτοπόροι στην γενική άνθιση των Μαθηματικών και την μετέπειτα ένδοξη πορεία τους, που συνεχίζεται μέχρι και σήμερα. Ελπίζω επίσης, τα “Μαθήματα” με τις συγκλίσεις και περισσότερο με τις αποκλίσεις τους από τα αντίστοιχα διδακτικά κείμενα, να προσθέσουν κάτι στην ελληνική βιβλιογραφία.

Περιεχόμενα

Εισαγωγή

1.1 Σύγχρονη αντιμετώπιση των παλαιών αυτών προβλημάτων

2 Το ολοκλήρωμα Riemann

2.1 Ορισμός του ολοκληρώματος

2.2 Το θεώρημα του Lebesgue

2.3 Ασκήσεις

2.4 Ιδιότητες του ολοκληρώματος

3 Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού

3.1 Τεχνικές ολοκλήρωσης

3.2 Ασκήσεις

4 Το Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

4.1 Ορισμός και ιδιότητες του γενικευμένου ολοκληρώματος

4.2 Ασκήσεις

4.3 Εφαρμογές του ολοκληρώματος

4.4 Ασκήσεις

5 Τύπος του Taylor και πεπερασμένα αναπτύγματα

5.1 Τύπος του Taylor

5.2 Εφαρμογές του τύπου του Taylor

6 Δυναμοσειρές, Σειρές Taylor

6.1 Σύντομη επανάληψη για τις σειρές

6.2 Δυναμοσειρές

7 Σειρές συναρτήσεων

7.1 Απλή και Ομοιόμορφη σύγκλιση συναρτήσεων

7.2 Ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων

8 Σειρές Fourier

8.1 Τριγωνομετρικές Σειρές, Συντελεστές Fourier

8.2 Σύγκλιση των σειρών Fourier

8.3 Ασκήσεις