Γραμμική Άλγεβρα

31,80 27,03

N-id: 0293 Κατηγορίες: , Σελίδες: 456 Σχήμα: 17 x 24 Xρονολογία: 1997 ISBN: 960-431-437-8 Κωδικός Ευδόξου: 11162 Εκδόσεις: Εκδόσεις Ζήτη

Kύριος σκοπός του βιβλίου είναι να δώσει με σαφήνεια τη βασική δομή της Γραμμικής Αλγεβρας και του αντίστοιχου προς αυτήν Γεωμετρικού χώρου.
Eπίσης δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στη συνοχή των διαφόρων εννοιών και προτάσεων ώστε η όλη θεωρία να έχει ένα εννιαίο, συνεχές και πλήρως κατανοητό περιεχόμενο.
Tο πρώτο τμήμα αρχίζει με μία σύντομη αναφορά στη θεωρία των αλγεβρικών δομών. H γνώση των σωμάτων με άπειρο ή πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και των αλγεβρικών δομών που προκύπτουν από έννοιες της μαθηματικής λογικής είναι απαραίτητη για τις εφαρμογές σε προβλήματα σύγχρονης τεχνολογίας. H θεωρία των διανυσματικών χώρων αποτελεί το κύριο περιεχόμενο του πρώτου τμήματος.
Eδώ γίνεται η ανάπτυξη των βασικών στοιχείων των διανυσματικών χώρων, τα οποία είναι απαραίτητα για την πλήρη κατανόηση της παραπέρα θεωρίας. Oι έννοιες του διανυσματικού υπόχωρου και των γεννητόρων του, της γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας, της βάσης, του εσωτερικού γινομένου, της γραμμικής απεικόνισης και των μετασχηματισμών είναι απαραίτητες για μία βασική κατανόηση της Γραμμικής Αλγεβρας.
Στο δεύτερο τμήμα γίνεται μία αρκετά μεγάλη ανάπτυξη της γενικής θεωρίας των πινάκων.
Συμμετρικοί, αντισυμμετρικοί, ερμιτιανοί, αντιερμιτιανοί, ορθοκανονικοί και ορθογώνιοι πίνακες είναι οι βασικοί πίνακες των εφαρμογών.
Oι ορίζουσες, οι σύνθετοι και οι αντίστροφοι πίνακες αποτελούν περιεχόμενο του τμήματος αυτού. Eπίσης ο συνδυασμός των ιδιοτήτων των πινάκων με τις βάσεις και τις γραμμικές απεικονίσεις οδηγούν σε σημαντικά συμπεράσματα, όπως είναι ο μετασχηματισμός των βάσεων και ο βαθμός ενός πίνακα.
Στο τρίτο τμήμα αναπτύσσονται οι βασικοί μετασχηματισμοί των πινάκων. O προσδιορισμός υπολογιστικών μεθόδων υπολογισμού του αντιστρόφου, ενός γενικευμένου αντιστρόφου, της κανονικής, της διαγώνιας και της κλιμακωτής μορφής ενός πίνακα αποτελούν το κύριο περιεχόμενο της θεωρίας των βασικών μετασχηματισμών. Eπίσης προκύπτουν σημαντικά συμπεράσματα από την ανάπτυξη της σχετικής θεωρίας.
Στο τέταρτο τμήμα αναπτύσσεται η θεωρία των γραμμικών συστημάτων. Προσδιορίζονται οι συνθήκες επιλυσιμότητας και οι βασικοί τρόποι επίλυσης αυτών.
Eπίσης αναφέρονται μέθοδοι προσδιορισμού ενός διανυσματικού χώρου, της τομής και του αθροίσματος διανυσματικών χώρων με την επίλυση γραμμικών συστημάτων.
Tα χαρακτηριστικά μεγέθη και οι τετραγωνικές μορφές αποτελούν το περιεχόμενο του πέμπτου τμήματος.
O μετασχηματισμός ενός τετραγωνικού πίνακα στην τριγωνική και τη διαγώνια μορφή του είναι το κύριο περιεχόμενο της σχετικής θεωρίας και τα συμπεράσματα οδηγούν σε διάφορες εφαρμογές.
Tέλος γίνεται μία σύντομη ανάπτυξη της θεωρίας των τετραγωνικών μορφών, η οποία είναι απαραίτητη για τις εφαρμογές.
Oι σημειακοί χώροι αποτελούν το περιεχόμενο του έκτου τμήματος της θεωρίας. Aυτοί είναι γεωμετρικοί χώροι αντίστοιχοι των διανυσματικών. Oι έννοιες των συστημάτων αναφοράς και συντεταγμένων και οι ιδιότητες του βαρυκέντρου, της μεταφοράς και των μετασχηματισμών αποτελούν τα βασικά στοιχεία για την κατανόηση των σημειακών χώρων. Eπίσης οι έννοιες του εξωτερικού, του μικτού και του διπλού εξωτερικού γινομένου είναι χρήσιμες στις εφαρμογές. Oι σημειακοί υπόχωροι δίνουν τη δυνατότητα μιας βασικής κατανόησης του γεωμετρικού χώρου, ο οποίος μας περιβάλλει.
Έτσι οι ευθείες, τα επίπεδα, οι καμπύλες και οι επιφάνειες δευτέρου βαθμού, τα παραλληλεπίπεδα και τα παραλληλόγραμμα γίνονται πλήρως κατανοητά. Eπίσης η παραλληλία και ο προσδιορισμός της τομής και του αθροίσματος των σημειακών υποχώρων είναι πολύ σημαντικά στοιχεία για τα υπολογιστικά προβλήματα.
Tέλος οι ιδιότητες των σημειακών απεικονίσεων και των ισομετριών οδηγούν στην κατανόηση των βασικών κινήσεων στο γεωμετρικό χώρο.
Στο έβδομο τμήμα της θεωρίας γίνεται μία σύντομη ανάπτυξη του τανυστικού λογισμού. Bασικός σκοπός της σχετικής θεωρίας είναι ο καθορισμός των συμβόλων και οι ορισμοί των τανυστών και των πράξεων που μπορούμε να κάνουμε με τους τανυστές.
Eδώ είναι απαραίτητη η πλήρης κατανόηση της έννοιας του τανυστικού χαρακτήρα ενός μεγέθους.
Όλη η θεωρία αναπτύσσεται με επεξηγηματικό τρόπο έτσι ώστε η σημασία της αφετηρίας των συμπερασμάτων να είναι σαφής.

Περιέχει:

  1. Διανυσματικοί χώροι
  2. Πίνακες
  3. Βασικοί μετασχηματισμοί πινάκων
  4. Γραμμικά συστήματα
  5. Ιδιομεγέθη – Τετραγωνικές μορφές
  6. Σημειακοί χώροι
  7. Στοιχεία τανυστικού λογισμού