Θεωρία Αριθμών

Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε φοιτητές θετικών επιστημών, σε καθηγητές μαθηματικών και σε συμμετέχοντες σε διαγωνισμούς ΑΣΕΠ και Ολυμπιάδων.
Είναι ένα πλήρες σύγγραμμα της κλασικής Θεωρίας Αριθμών. Η θεωρία αναπτύσσεται διεξοδικά και πλαισιώνεται με πλήθος παραδειγμάτων και εφαρμογών, που αποσαφηνίζουν με κάθε λεπτομέρεια όλες τις έννοιες.
Περιέχει τα παρακάτω οκτώ κεφάλαια.
1) Ευκλείδεια διαίρεση ακεραίων
2) Διαιρετότητα ακεραίων
3) Μέγιστος κοινός διαιρέτης – Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο
4) Πρώτοι αριθμοί
5) Ισοτιμίες
6) Αριθμητικές και πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις
7) Πολυωνυμικές ισοτιμίες και τετραγωνικά υπόλοιπα
8) Διοφαντικές εξισώσεις.
Σε κάθε κεφάλαιο προτείνεται για λύση ένας μεγάλος αριθμός ασκήσεων κλιμακούμενης δυσκολίας, για τις οποίες, στο τέλος του βιβλίου, δίνονται σύντομες λύσεις ή υποδείξεις για τη λύση τους.

Περιεχόμενα

Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1: Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων
Προτεινόμενες Ασκήσεις

Κεφάλαιο 2: Διαιρετότητα Ακεραίων
Προτεινόμενες Ασκήσεις

Κεφάλαιο 3: Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης – Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο
3.1. Μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο ακεραίων
3.2. Μέγιστος κοινός διαιρέτης πολλών ακεραίων
3.3. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο
Προτεινόμενες Ασκήσεις

Κεφάλαιο 4: Πρώτοι Αριθμοί
4.1. Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί
4.2. Το κόσκινο του Ερατοσθένη
4.3. Ιδιότητες των πρώτων αριθμών
4.4. Η ανάλυση ενός ακεραίου σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
Προτεινόμενες Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5: Ισοτιμίες
5.1. Η έννοια της ισοτιμίας και βασικές ιδιότητες
5.2. Το σύνολο Z_n των κλάσεων ισοτιμιών
5.3. Γραμμικές ισοτιμίες
5.4. Συστήματα γραμμικών ισοτιμιών
Προτεινόμενες Ασκήσεις

Κεφάλαιο 6: Αριθμητικές και Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις
6.1. Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις
6.2. Η συνάρτηση φ του Euler
6.3. Η συνάρτηση μ του Möbius
6.4. Το θεώρημα των Fermat-Euler
Προτεινόμενες Ασκήσεις

Κεφάλαιο 7: Πολυωνυμικές Ισοτιμίες και Τετραγωνικά Υπόλοιπα
7.1. Πολυωνυμικές ισοτιμίες
7.2. Πολυωνυμικές ισοτιμίες με μέτρο πρώτο βαθμό
7.3. Το θεώρημα Wilson
7.4. Πολυωνυμικές ισοτιμίες με μέτρο σύνθετο αριθμό
7.5. Αρχικές ρίζες modulo n
7.6. Δείκτες ως προς μια βάση modulo n
7.7. Τετραγωνικά υπόλοιπα
7.8. Το σύμβολο Legendre
7.9. Το σύμβολο Jacobi
Προτεινόμενες Ασκήσεις

Κεφάλαιο 8: Διοφαντικές Εξισώσεις
8.1. Γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις
8.2. Διοφαντικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού
8.3. Ειδικές διοφαντικές εξισώσεις
Προτεινόμενες Ασκήσεις

Προτεινόμενες ασκήσεις απ’ όλα τα κεφάλαια
Σύντομες Λύσεις των Ασκήσεων
Βιβλιογραφία
Ευρετήριο Όρων