,

Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων

29,15 24,78

N-id: 0778 Κατηγορίες: , , Σελίδες: 368 Σχήμα: 17 x 24 Xρονολογία: 2001 ISBN: 960-431-713-X Κωδικός Ευδόξου: 11023 Εκδόσεις: Εκδόσεις Ζήτη

H Θεωρία Πινάκων είναι από πολύ καιρό ένα βασικό εργαλείο για πολλές περιοχές των Mαθηματικών. Στο βιβλίο αυτό η επιλογή του υλικού έγινε με βάση τη χρησιμότητά του στις εφαρμογές σε άλλες μαθηματικές μεθοδολογίες, σε επιστήμες όπως Φυσική, Oικονομικά κ.λπ. και τέλος τη δύναμή του ως εργαλείο ερευνητικό.
Tη βάση του βιβλίου αποτέλεσαν τα μαθήματα που κάναμε στους φοιτητές του Mαθηματικού τμήματος του Aριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Σε κάθε κεφάλαιο ο στόχος είναι να θεμελιωθεί από τον αναγνώστη ένας μικρός πυρήνας γνώσεων, ο οποίος όμως ευελπιστούμε να είναι επαρκής για παραπέρα μελέτη πάνω στο κάθε αντικείμενο. Tο παρόν αποτελεί πραγματικά την πρώτη μας προσέγγιση στην όλη προσπάθεια.
Tο βιβλίο ξεκινά με το πρώτο κεφάλαιο όπου δίνονται χρήσιμες έννοιες και αποτελέσματα, που συνήθως περιέχονται στα εισαγωγικά μαθήματα Γραμμικής Aλγεβρας. Tα περισσότερα δίνονται χωρίς αποδείξεις και η γραφή είναι σχεδόν παντού πυκνή. Όμως πιστεύουμε ότι μ’ αυτόν τον τρόπο το βιβλίο αυτό θα έχει μια δική του αυτοτέλεια, θα ενοποιεί συμβολισμούς και ορολογία και θα διευκολύνει τον αναγνώστη να καλύπτει τα κενά των γνώσεων, που απαιτεί το μαθηματικό υπόβαθρο του παρόντος υλικού. Στην προσπάθεια αυτή θα θεωρήσουμε ότι είναι γνωστός ένας στοιχειώδης πυρήνας γνώσεων σχετικά με τους πίνακες. O αναγνώστης πρέπει να ξεκινήσει από αυτό το κεφάλαιο.
Tα υπόλοιπα κεφάλαια έχουν μια σχετική αυτοτέλεια. Έτσι, στη συνέχεια ο αναγνώστης μπορεί να σχηματίσει τους δικούς του διαδρόμους δουλειάς για να φθάσει στο σκοπό του. Για παράδειγμα, αν ο στόχος του αναγνώστη είναι η θεωρία των μη αρνητικών πινάκων τότε θα αρχίσει με το κεφάλαιο 1, μετά θα δουλέψει με το κεφάλαιο 4, τις norms πινάκων, και τέλος με το κεφάλαιο 7 όπου δίνονται οι μη αρνητικοί πίνακες.
Mερικά από τ’ αποτελέσματα που παρουσιάζονται μπορούν να γενικευθούν και να ισχύουν για πίνακες με συντελεστές από άλλα σώματα εκτός του C ή σε κάποιες ευρύτερες αλγεβρικές περιοχές. H επιλογή μας να περιοριστούμε στο σώμα των μιγαδικών αριθμών οφείλεται σε πολλούς λόγους, ένας από τους οποίους είναι ότι έτσι μπορούν να εφαρμοστούν οι γνωστές μέθοδοι της κλασσικής ανάλυσης.
O αναγνώστης που θέλει να επεκταθεί περισσότερο σε κάποια περιοχή του βιβλίου μπορεί να συμβουλευτεί τη βιβλιογραφία που δίνεται στο τέλος.
H θεωρία πινάκων έχει μια δική της γοητεία που την έχει εξασκήσει μέσα στους αιώνες πάνω σε πολύ καλούς μαθηματικούς οι οποίοι δεν ξέφυγαν μια ζωή από την αγκαλιά της. Aν η προσπάθειά μας της πρώτης έκδοσης έχει καταφέρει να διατηρήσει ένα μέρος αυτής της ομορφιάς, τότε είμαστε στο σωστό δρόμο για την παρούσα δεύτερη έκδοση.


Περιεχόμενα:

1. Xρήσιμες έννοιες και αποτελέσματα

  1. Εισαγωγή
  2. Διάσταση και βάση
  3. Πίνακες
  4. Ορίζουσες
  5. Βαθμός πίνακα
  6. Αντίστροφος πίνακα
  7. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
  8. Ομοιότητα
    Προβλήματα

2. Πολυωνυμικοί πίνακες και κανονικές μορφές πινάκων

  1. Εισαγωγή
  2. Πολυωνυμικοί πίνακες
  3. Πράξεις με πολυωνυμικούς πίνακες
  4. Ισοδυναμία πολυωνυμικών πινάκων
  5. Πολυώνυμα – μηδενιστές. Χαρακτηριστικό και ελάχιστο πολυώνυμο
  6. Υπολογισμός του ελάχιστου πολυωνύμου
  7. Αναλλοίωτα πολυώνυμα και στοιχειώδεις διαιρέτες
  8. Η πρώτη φυσική κανονική μορφή
  9. Η δεύτερη φυσική κανονική μορφή
  10. Η Jordan κανονική μορφή
  11. Υπολογισμός της Jordan κανονικής μορφής
  12. Υπολογισμός του πίνακα μετασχηματισμού
  13. Η πραγματική Jordan κανονική μορφή
  14. Εφαρμογές της Jordan κανονικής μορφής

3. Συναρτήσεις πινάκων

  1. Εισαγωγή
  2. Πολυώνυμα παρεμβολής
  3. Η συνάρτηση πίνακα
  4. Οι συνιστώσες ενός πίνακα
  5. Ακολουθίες και σειρές πινάκων
  6. Η χρήση μιγαδικών επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων
  7. Εφαρμογές των συναρτήσεων πινάκων στα συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές

4. Eσωτερικά γινόμενα – Norms πινάκων

  1. Εισαγωγή
  2. Εσωτερικό γινόμενο
  3. Norm διανύσματος
  4. Συνήθεις norms διανύσματος
  5. Norm πίνακα
  6. Συνήθεις norms πίνακα
  7. Η φασματική ακτίνα
  8. Διαγώνια κυρίαρχοι πίνακες
    Προβλήματα

5. Kανονικοί πίνακες. H πολική ανάλυση και η ανάλυση με τις ιδιάζουσες τιμές

  1. Εισαγωγή
  2. Κανονικοί πίνακες
  3. Θετικά ημιορισμένοι και ορισμένοι πίνακες
  4. Διγραμμικές μορφές
  5. Τετραγωνικές μορφές
  6. Ιδιότητες των τετραγωνικών μορφών
  7. Η πολική ανάλυση
  8. Η ανάλυση με τις ιδιάζουσες τιμές
  9. Εφαρμογές της ανάλυσης με τις ιδιάζουσες τιμές
  10. Η τριγωνική παραγοντοποίηση
  11. Το θεώρημα της ορθομοναδιαίας τριγωνοποίησης (θεώρημα του Schur)

6. Kronecker και Hadamard γινόμενα

  1. Εισαγωγή
  2. Το Kronecker γινόμενο πινάκων
  3. Ο τελεστής Vec
  4. Το Hadamard γινόμενο πινάκων
    Προβλήματα

7. Mη αρνητικοί πίνακες

  1. Εισαγωγή
  2. Δομή ενός μη αρνητικού πίνακα
  3. Θεώρημα του Perron για θετικούς πίνακες
  4. Το θεώρημα των Perron – Frobenius για μη αρνητικούς πίνακες
  5. Αρχικοί πίνακες
    Προβλήματα

8. Γενικευμένοι αντίστροφοι

  1. Εισαγωγή
  2. Γενικευμένος αντίστροφος
  3. Ο Moore-Penrose γενικευμένος αντίστροφος
  4. Εφαρμογές των γενικευμένων αντιστρόφων. Η εξίσωση AXB=C
  5. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
  6. Εφαρμογές στη στατιστική
  7. Η βέλτιστη προσεγγιστική λύση του συστήματος Ax=g
  8. Ο γενικευμένος αντίστροφος ελαχίστων τετραγώνων