Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κ.λπ. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, ο φοιτητής να διαβάζει σε διαφορετικά μαθήματα παρόμοιες έννοιες. Το μάθημα «Εισαγωγή στην Αλγεβρα» περιέχει όλα αυτά τα κοινά στοιχεία, με στόχο να απαλλάξει τα υπόλοιπα μαθήματα, από ανάλογες εισαγωγές.
Ο δεύτερος στόχος του μαθήματος αυτού είναι να εφοδιάσει το φοιτητή με το κατάλληλο μαθηματικό υπόβαθρο, ώστε να αντιμετωπίσει με μεγαλύτερη ευκολία άλλα περισσότερο θεωρητικά μαθήματα. Έννοιες απλές, και συχνά γνωστές, γενικεύονται ώστε να γίνουν πιο εύχρηστες, και πιο αποτελεσματικές.
Οι αποδείξεις των προτάσεων δίνονται όχι τόσο για να πειστεί ο αναγνώστης για την αλήθεια της πρότασης, όσο για να διαπιστώσει τη λογική σειρά των επιχειρημάτων που οδηγούν βήμα-βήμα από την υπόθεση στο επιθυμητό συμπέρασμα. Η διαδικασία αυτή είναι εξαιρετικά σημαντική, και αποτελεί την ουσία των μαθηματικών. Η απόδειξη είναι εκείνη που θα εκπαιδεύσει τον αναγνώστη, και θα του δώσει το μαθηματικό υπόβαθρο που απαιτείται, ώστε να μπορεί να αναλύει ένα πρόβλημα, και να προσεγγίζει σιγά-σιγά τη λύση του χρησιμοποιώντας λογικά επιχειρήματα.
Το βιβλίο «Εισαγωγή στην Αλγεβρα» περιέχει τέσσερα κεφάλαια. Το πρώτο αφορά κυρίως τα σύνολα, τις συναρτήσεις, και τις σχέσεις ισοδυναμίας, και διάταξης. Το δεύτερο μελετά τους φυσικούς, και τους ακέραιους αριθμούς, επικεντρώνοντας το ενδιαφέρον στους πρώτους αριθμούς, και τη διαιρετότητα ακεραίων. Το τρίτο κεφάλαιο αποτελεί μια σύντομη εισαγωγή στις αλγεβρικές δομές, ενώ το τέταρτο εισάγει έννοιες από τη συνδυαστική.
Ιδιαίτερη προσπάθεια έγινε ώστε η παρουσίαση των θεμάτων να είναι κατά το δυνατόν απλούστερη, έτσι ώστε το περιεχόμενο του βιβλίου να είναι κατανοητό από τον αναγνώστη.
Σχεδόν κάθε παράγραφος συνοδεύεται από ασκήσεις, οι οποίες δίνουν την ευκαιρία στο φοιτητή να ελέγξει αφενός τις γνώσεις που αποκτά σταδιακά, αφετέρου την ικανότητά του να συνδυάζει θεωρήματα που μαθαίνει, με στόχο να πετύχει νέα αποτελέσματα. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων, η οποία καλύπτει όλα τα θέματα που αναπτύσσονται στο βιβλίο αυτό. Σε κάθε μια από αυτές, δίνεται αναλυτική υπόδειξη.
Περιεχόμενα
1 Σύνολα – Συναρτήσεις – Σχέσεις
- Σύνολα
- Ασκήσεις
- Συναρτήσεις
- Ασκήσεις
- Σχέσεις ισοδυναμίας
- Ασκήσεις
- Ισοδυναμία συνόλων
- Ασκήσεις
- Σχέσεις διάταξης
- Ασκήσεις
2 Οι φυσικοί και οι ακέραιοι αριθμοί
- Μαθηματική επαγωγή
- Ασκήσεις
- Διαιρετότητα ακεραίων
- Ασκήσεις
- Μέγιστος κοινός διαιρέτης, και Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο
- Ασκήσεις
- Οι πρώτοι αριθμοί
- Ασκήσεις
- Ισοτιμίες
- Ασκήσεις
3 Εισαγωγή στις αλγεβρικές δομές
- Νόμοι σύνθεσης ή πράξεις
- Ασκήσεις
- Η έννοια της ομάδας
- Ασκήσεις
- Ομομορφισμοί ομάδων
- Ασκήσεις
- Η έννοια του δακτυλίου και του σώματος
- Ασκήσεις
- Ομομορφισμοί δακτυλίων
- Ασκήσεις
4 Εισαγωγή στη Συνδυαστική
- Θεμελιώδης Αρχή Απαρίθμησης
- Μεταθέσεις
- Συνδυασμοί και διατάξεις
- Ασκήσεις
5 Γενικές Ασκήσεις
Βιβλιογραφία
