Ασκήσεις Λογισμού Πολλών Μεταβλητών

Το εγχειρίδιο είναι ο πρώτος τόμος των «Ασκήσεων Λογισμού Πολλών Μεταβλητών». Περιέχει συνοπτικά τη θεωρία του διαφορικού λογισμού και πλήθος ασκήσεων (λυμένων και άλυτων). Σύντομα θα κυκλοφορήσει και ο δεύτερος τόμος, με τη συνοπτική θεωρία και τις ασκήσεις του ολοκληρωτικού λογισμού πολλών μεταβλητών.
Οι δυο αυτοί τόμοι είναι κατά κάποιο τρόπο συνοδευτικοί και συμπληρωματικοί των «Μαθημάτων Λογισμού Πολλών Μεταβλητών» που έγραψα πριν από μερικά χρόνια με τον αείμνηστο Ν. Δανίκα (Διαφορικός) και τον Ν. Μαντούβαλο (Ολοκληρωτικός). Τα «Μαθήματα» ήταν η τακτοποίηση των πρόχειρων σημειώσεών μας για τον Λογισμό ΙΙΙ και IV που διδάσκαμε στο Τμήμα Μαθηματικών του ΑΠΘ.
Η τακτοποίηση της συλλογής των ασκήσεών μας και η μεθοδική παρουσίασή τους, που πιστεύουμε ότι θα βοηθούσε τους φοιτητές μας αλλά και κάθε ενδιαφερόμενο να καταλάβει καλύτερα τα «δύσκολα» αυτά μαθηματικά, ήταν μέσα στις προθέσεις και τα σχέδιά μας. Όμως ο κ. Δανίκας έφυγε νωρίς, και ο φόρτος εργασίας δεν μας άφησε να υλοποιήσουμε το στόχο μας. Έτσι το βάρος έπεσε στον Γιώργο Πέρρο που πήρε τη συλλογή και την εμπλούτισε, βάζοντας την προσωπική του σφραγίδα στη συνοπτική παρουσίαση της θεωρίας και τη μεθοδική λύση των ασκήσεων, από τις απλές μέχρι και τις πιο «τσιμπημένες».
Αλλά ας μείνω λίγο παραπάνω σε ορισμένα χαρακτηριστικά των «Ασκήσεων», τα οποία εκφράζουν τις απόψεις μας περί διδακτικής. Πρώτα θέλω να επισημάνω ότι οι πολλές μεταβλητές είναι ένας «νέος κόσμος» για τον δευτεροετή φοιτητή. Έτσι, όπως στα «Μαθήματα» προσπαθήσαμε να κάνουμε το πέρασμα από τη μία μεταβλητή στις πολλές όσο γίνεται πιο γλυκό, εκμεταλλευόμενοι τις ομοιότητες και τις αναλογίες, και εξηγώντας με υπομονή το πώς και το γιατί, όταν εμφανίζονται διαφορές. Ύστερα, επιμείναμε στην άμεση προσέγγιση του ουσιαστικού, εξοβελίζοντας το περιττό, το φλύαρο και το κενό, τα οποία στην εποχή μας έχουν πάρει το πάνω χέρι.
Οι ασκήσεις που επιλέχτηκαν «αγκαλιάζουν» τη θεώρια, αφού βοηθούν να αφομοιωθούν οι νέες έννοιες, να εφαρμοστούν τα θεωρήματα, και κυρίως να μάθει ο φοιτητής να λογαριάζει. Η παρουσίαση των λύσεων είναι υποδειγματική και έγινε με έμφαση στις μεθόδους, ώστε ο αναγνώστης να ξέρει πώς να αντιμετωπίζει ανάλογες καταστάσεις.
Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν δύο παραρτήματα – «Διανύσματα» και «Στοιχεία Αναλυτικής Γεωμετρίας» – χάρη στα οποία οι «Ασκήσεις» γίνονται ένα έργο αυτοτελές και ιδανικό για ανεξάρτητη μελέτη. Έτσι, με ελάχιστες εξαιρέσεις, οι μόνες γνώσεις που προϋποθέτουμε από τους αναγνώστες μας είναι αυτές που αντιστοιχούν στην ύλη του Λυκείου.

Περιεχόμενα

• Όρια και Συνέχεια

Συνοπτική Θεωρία

1. Η τοπολογία του Rⁿ

2. Διανυσματικές και Πραγματικές Συναρτήσεις

3. Όριο Συνάρτησης

4. Συνέχεια

Λυμένες Ασκήσεις

Αλυτες Ασκήσεις

1. Παράγωγοι και Παραγωγισιμότητα

   Συνοπτική Θεωρία

   1. Μερικές Παράγωγοι

   2. Παραγωγισιμότητα, Μέρος Α

   3. Κατευθυνόμενη Παράγωγος

   4. Παραγωγισιμότητα, Μέρος Β

   5. Παραγωγισιμότητα, Μέρος Γ

   6. Βέλτιστη Αφφινική Προσέγγιση

   Λυμένες Ασκήσεις

   Αλυτες Ασκήσεις

2. Κανόνες Αλυσίδας και Εφαρμογές

   Συνοπτική Θεωρία

   1. Εισαγωγή

   2. Κανόνας Αλυσίδας, Μέρος Α

   3. Κανόνας Αλυσίδας, Μέρος Β

   4. Κανόνας Αλυσίδας, Μέρος Γ

   5. Κανόνας Αλυσίδας, Μέρος Δ

   6. Αρμονικές Συναρτήσεις

   7. Παραγώγιση Ολοκληρωμάτων

   8. Ισότιμες Καμπύλες και Επιφάνειες

   Λυμένες Ασκήσεις

   Αλυτες Ασκήσεις

3. Θεώρημα του Taylor και Ακρότατα

   Συνοπτική Θεωρία

   1. Θεώρημα του Taylor

   2. Ακρότατα Πραγματικών Συναρτήσεων

   3. Ακρότατα υπό Συνθήκες

   Λυμένες Ασκήσεις

   Αλυτες Ασκήσεις

4. Αντιστροφή και Πεπλεγμένες Συναρτήσεις

   Συνοπτική Θεωρία

   1. Ιακωβιανή Ορίζουσα

   2. Θεώρημα Αντιστροφής

   3. Θεώρημα Πεπλεγμένων Συναρτήσεων

   Λυμένες Ασκήσεις

   Αλυτες Ασκήσεις

Παράρτημα Α: Διανύσματα

Συνοπτική Θεωρία

1. O Χώρος Rⁿ

2. Βασικές Πράξεις με Διανύσματα

3. Εσωτερικό Γινόμενο και Μήκος

4. Γραμμική Ανεξαρτησία

5. Εξωτερικό Γινόμενο

6. Τριπλό Αριθμητικό Γινόμενο

7. Τριπλά Διανυσματικά Γινόμενα

Λυμένες Ασκήσεις

Αλυτες Ασκήσεις

Παράρτημα B: Στοιχεία Αναλυτικής Γεωμετρίας

Συνοπτική Θεωρία

1. Ευθείες και Καμπύλες

2. Επίπεδα

3. Επιφάνειες Δευτέρας Τάξεως

4. Πολικές Συντεταγμένες

5. Κυλινδρικές και Σφαιρικές Συντεταγμένες

Λυμένες Ασκήσεις

Αλυτες Ασκήσεις