Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων, Tόμος I

Σκοπός του βιβλίου είναι η εισαγωγή σε ορισμένα βασικά κεφάλαια της θεωρίας των Mιγαδικών Συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής, καθώς επίσης και σε εφαρμογές στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία, στην αεροδυναμική, στη μηχανική ρευστών, κ.ά.
Tο πρώτο κεφάλαιο αναφέρεται στην κατασκευή του σώματος C των μιγαδικών αριθμών, σε διάφορες ιδιότητές τους, στη διανυσματική παράσταση των μιγαδικών αριθμών και στη σφαίρα του Riemann.
Στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζεται η σύγκλιση ακολουθιών και σειρών μιγαδικών αριθμών και δίνονται διάφορα κριτήρια σύγκλισης, όπως του D’Alembert, του Cauchy, που είναι επεκτάσεις αντίστοιχων γνωστών προτάσεων που ισχύουν στην Πραγματική Aνάλυση.
Tο τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται στις ρητές, εκθετικές, τριγωνομετρικές, υπερβολικές συναρτήσεις και στους ομογραφικούς μετασχηματισμούς.
Στο τέταρτο κεφάλαιο ορίζονται αρχικά οι στοιχειώδεις τοπολογικές έννοιες που είναι απαραίτητες για την ανάπτυξη της υπόλοιπης ύλης και στη συνέχεια μελετάται το όριο και η συνέχεια μιγαδικής συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής.
Στο πέμπτο κεφάλαιο εισάγεται αρχικά η έννοια της παραγώγου μιγαδικής συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής. Kατόπιν ορίζονται οι ολόμορφες μιγαδικές συναρτήσεις και δίνονται συνθήκες ολομορφίας οι οποίες είναι γνωστές και ως συνθήκες Cauchy – Riemann. Tέλος, συσχετίζεται η έννοια της αρμονικότητας με την έννοια της ολομορφίας.
Tέλος, στο έκτο κεφάλαιο αφού αναφερθούν ορισμένα στοιχεία (ορισμοί και ιδιότητες) από τη θεωρία ολοκλήρωσης πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής, αναφέρεται η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος μιγαδικής συνάρτησης πραγματικής μεταβλητής. Στη συνέχεια, μετά από τη μελέτη των δρόμων, ορίζεται το μιγαδικό ολοκλήρωμα συνεχών μιγαδικών συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής κατά μήκος λείου ή τμηματικού λείου δρόμου. Eξετάζονται αξιοσημείωτες ιδιότητες των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων και τέλος εισάγεται και μελετάται η έννοια του απόλυτου μιγαδικού ολοκληρώματος.

Περιεχόμενα:

1. Mιγαδικοί αριθμοί

1. Το σώμα των μιγαδικών αριθμών
2. Πραγματικό και φανταστικό μέρος, μέτρο και συζυγής μιγαδικού αριθμού
3. Το μιγαδικό επίπεδο
4. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμος μιγαδικών αριθμών
5. Επέκταση του C και η σφαίρα του Riemann

2. Aκολουθίες και σειρές μιγαδικών αριθμών

1. Συγκλίνουσες ακολουθίες μιγαδικών αριθμών
2. Ιδιότητες συγκλινουσών μιγαδικών ακολουθιών
3. Το άπειρο ως όριο μιγαδικής ακολουθίας
4. Σειρές μιγαδικών αριθμών

3. Στοιχειώδεις μιγαδικές συναρτήσεις

1. Μιγαδικές συναρτήσεις
2. Ρητές συναρτήσεις. Ομογραφικοί μετασχηματισμοί
3. Εκθετικές, τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις
4. Πραγματικό και φανταστικό μέρος μιγαδικών συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής

4. Όρια και συνέχεια μιγαδικών συναρτήσεων

1. Ανοικτά και κλειστά σύνολα του R
2. Όριο μιγαδικής συνάρτησης
3. Συνέχεια μιγαδικών συναρτήσεων σε σημείο
4. Συνεχείς μιγαδικές συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής

5. Oλόμορφες μιγαδικές συναρτήσεις

1. Παράγωγοι αριθμοί και παράγωγοι συναρτήσεις
2. Ολόμορφες μιγαδικές συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής
3. Συνθήκες ολομορφίας (Cauchy – Riemann)
4. Αρμονικές συναρτήσεις
5. Κανόνας του De L’ Hospital

6. Oλοκλήρωση

1. Ολοκλήρωση μιγαδικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής
2. Δρόμοι
3. Επικαμπύλια ολοκληρώματα
4. Ιδιότητες επικαμπύλιων μιγαδικών ολοκληρωμάτων
5. Παραγοντική ολοκλήρωση
6. Απόλυτα μιγαδικά ολοκληρώματα
7. Μιγαδικό ολοκλήρωμα κατά μήκος τμηματικά λείου δρόμου