Εισαγωγή στο Διαφορικό Λογισμό Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών

Στη δεύτερη αυτή έκδοση του βιβλίου «Εισαγωγή στο Διαφορικό Λογισμό Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών» διορθώθηκαν όλα τα τυπογραφικά λάθη και οι αβλεψίες, που εντοπίστηκαν στην πρώτη έκδοση, προστέθηκε ένας αριθμός λυμένων ασκήσεων και προβλημάτων, καθώς και ορισμένα νέα συγγράμματα στην ελληνική και ξένη βιβλιογραφία. Σημαντική καινοτομία αποτελεί η προσθήκη εκατό νέων ασκήσεων και προβλημάτων προς λύση, με τις απαντήσεις τους. Με τον τρόπο αυτό, οι φοιτητές θα μπορούν να ελέγχουν την ορθότητα της λύσης των. Στο σύνολό τους σχεδόν, τα προστεθέντα προβλήματα και οι ασκήσεις, είναι πρωτότυπα, δηλαδή έχουν συντεθεί από τον συγγραφέα.
Ένα μεγάλο μέρος των ασκήσεων και προβλημάτων του συγγράμματος αποτελούν εφαρμογές της Φυσικής, της Αστρονομίας καθώς και άλλων φυσικών επιστημών. Με τον τρόπο αυτό τονίζεται στους φοιτητές, ότι τα μαθηματικά δεν αποτελούν γι’ αυτούς μια ανιαρή αφηρημένη απασχόληση αλλά ένα απαραίτητο εργαλείο, που πρέπει να έχει σήμερα ο σύγχρονος Φυσικός.

Το σύγγραμμα αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στο «Διαφορικό Λογισμό Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών». Στην ουσία περιέχει την ύλη του μαθήματος ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ, το οποίο διδάσκεται στους φοιτητές του δευτέρου εξαμήνου του Τμήματος Φυσικής του Α.Π.Θ. To παρόν πόνημα αποτελεί προϊόν της εμπειρίας του συγγραφέα, όπως αυτή διαμορφώθηκε στα είκοσι περίπου έτη που έχει την ευθύνη της διδασκαλίας του μαθήματος. Στην απόκτηση της εμπειρίας αυτής σημαντική ήταν η συνεισφορά των φοιτητών οι οποίοι με το ενδιαφέρον, τις παρατηρήσεις και τα σχόλιά τους συνετέλεσαν στο να αποκτήσει και να διατηρεί το μάθημα μια διαρκή ανοδική πορεία στο μακρό αυτό χρονικό διάστημα. Τα ευεργετικά αποτελέσματα της αναβάθμισης αυτής είναι ορατά τα τελευταία χρόνια και πιστεύεται ότι θα συνεχιστούν με πιο έντονους ρυθμούς, με τη συνεισφορά του παρόντος συγγράμματος.
Το σύγγραμμα αποτελείται από οκτώ κεφάλαια. Το πρώτο κεφάλαιο περιέχει ορισμένες βασικές τοπολογικές έννοιες και τα βασικά συστήματα συντεταγμένων. Το δεύτερο κεφάλαιο περιλαμβάνει τη γεωμετρική παράσταση των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και τις επιφάνειες δευτέρου βαθμού. Το τρίτο κεφάλαιο πραγματεύεται τα όρια και τη συνέχεια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, ενώ το τέταρτο κεφάλαιο αναφέρεται στις μερικές παραγώγους. Οι σύνθετες και πλεγμένες συναρτήσεις εξετάζονται στο πέμπτο κεφάλαιο. Στο ίδιο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στις Ιακωβιανές ορίζουσες και τη συναρτησιακή εξάρτηση. Στο έκτο κεφάλαιο δίνονται ορισμένα βασικά στοιχεία διανυσματικής ανάλυσης. Τα δύο τελευταία κεφάλαια αναφέρονται στις εφαρμογές των μερικών παραγώγων. Πιο συγκεκριμένα το έβδομο κεφάλαιο περιέχει τις γεωμετρικές εφαρμογές των μερικών παραγώγων, ενώ το όγδοο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στις άκρες τιμές των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
Η παρουσίαση της ύλης στο σύγγραμμα είναι τέτοια ώστε κάθε παράγραφος να αποτελεί μια ξεχωριστή οντότητα. Οι ορισμοί και τα θεωρήματα κάθε παραγράφου, εφόσον υπάρχουν, έχουν τη δική τους αρίθμηση και ακολουθούνται από παραδείγματα τα οποία επίσης αριθμούνται. Με τον τρόπο αυτό γίνεται πιο εύκολη η εμπέδωση της θεωρίας και διευκολύνεται η κατανόησή της. Οι αποδείξεις ορισμένων θεωρημάτων που είναι μακροσκελείς έχουν παραληφθεί. Έτσι ενθαρρύνεται η ενασχόληση των φοιτητών με τη θεωρία, η κατανόηση της οποίας αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο για την καλύτερη εμπέδωση και αφομοίωση της ύλης του μαθήματος.
Κάθε κεφάλαιο περιέχει έναν αριθμό λυμένων ασκήσεων οι οποίες αναφέρονται σε όλα τα θέματα του κεφαλαίου. Διαβάζοντας και κατανοώντας τις ασκήσεις αυτές ο φοιτητής αποκτά εμπειρία στη λύση ασκήσεων, συγχρόνως όμως κάνει και μια επανάληψη των βασικών εννοιών του κάθε κεφαλαίου. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχει ένας ικανός αριθμός ασκήσεων προς λύση. Συνιστάται στους φοιτητές να μελετούν τη θεωρία και τις λυμένες ασκήσεις πριν την ενασχόλησή τους με τις ασκήσεις αυτές.
Επειδή το μάθημα και, κατά συνέπεια, το σύγγραμμα απευθύνεται στους φοιτητές του Τμήματος Φυσικής, καταβλήθηκε προσπάθεια να τονίζονται οι φυσικές εφαρμογές της θεωρίας που περιέχει. Ακόμα συμπεριελήφθηκαν στο βιβλίο ένας μεγάλος αριθμός παραδειγμάτων και ασκήσεων από τις φυσικές επιστήμες. Με τον τρόπο αυτό όχι μόνο τονίζονται τα φυσικά δεδομένα του μαθήματος αλλά συγχρόνως δείχνεται στο φοιτητή του Τμήματος Φυσικής, ότι τα μαθηματικά γι’ αυτόν δεν αποτελούν αυτοσκοπό αλλά ένα απαραίτητο εργαλείο για τη θεραπεία της επιστήμης του.

Περιεχόμενα

1 Κεφάλαιο: Η Τοπολογία του Χώρου Rⁿ

1. Ο Ευκλείδειος μετρικός χώρος
2. Βασικές τοπολογικές έννοιες
3. Συστήματα συντεταγμένων στο χώρο R³
4. Λυμένες ασκήσεις
5. Ασκήσεις προς λύση

2 Κεφάλαιο: Γεωμετρική Παράσταση Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών

1. Ισοσταθμικές καμπύλες και επιφάνειες
2. Επιφάνειες δευτέρου βαθμού
3. Λυμένες ασκήσεις
4. Ασκήσεις προς λύση

3 Κεφάλαιο: Όρια και Συνέχεια Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών

1. Ακολουθίες σημείων του χώρου R^m
2. Ορισμός και ιδιότητες του ορίου συναρτήσεων
3. Διπλά ή διαδοχικά όρια
4. Συνέχεια συναρτήσεων
5. Μεταβολή και μερική μεταβολή συναρτήσεων
6. Ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων
7. Η έννοια της σύνθετης συνάρτησης
8. Ομοιόμορφη συνέχεια συναρτήσεων
9. Λυμένες ασκήσεις
10. Ασκήσεις προς λύση

4 Κεφάλαιο: Μερικές Παράγωγοι και Διαφορικά Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών

1. Ορισμός της μερικής παραγώγου
2. Γεωμετρική ερμηνεία της μερικής παραγώγου
3. Θεωρήματα επί των μερικών παραγώγων
4. Διαφορίσιμες συναρτήσεις
5. Ολικό διαφορικό συνάρτησης
6. Διαφορικά ανώτερης τάξης
7. Λυμένες ασκήσεις
8. Ασκήσεις προς λύση

5 Κεφάλαιο: Σύνθετες και Πλεγμένες Συναρτήσεις

1. Παράγωγοι σύνθετων συναρτήσεων
2. Ομογενείς συναρτήσεις παραγώγου
3. Διαφορικά σύνθετων συναρτήσεων
4. Τύπος και σειρά Taylor
5. Πλεγμένες συναρτήσεις
6. Συναρτησιακές ορίζουσες
7. Μετασχηματισμοί και συναρτησιακή εξάρτηση
8. Λυμένες ασκήσεις
9. Ασκήσεις προς λύση

6 Κεφάλαιο: Στοιχεία Διανυσματικής Ανάλυσης

1. Αριθμητικές και διανυσματικές συναρτήσεις
2. Κλίση και παράγωγος κατά κατεύθυνση
3. Απόκλιση διανυσματικής συνάρτησης
4. Στροφή διανυσματικής συνάρτησης
5. Λυμένες ασκήσεις
6. Ασκήσεις προς λύση

7 Κεφάλαιο: Γεωμετρικές Εφαρμογές των Μερικών Παραγώγων

1. Επίπεδο εφαπτόμενο επιφάνειας
2. Ευθεία κάθετη επιφάνειας
3. Ευθεία εφαπτόμενη καμπύλης στο χώρο R³
4. Κάθετο επίπεδο καμπύλης στο χώρο R³
5. Παράγωγος κατά την κατεύθυνση της εφαπτόμενης μιας καμπύλης στο χώρο R³
6. Λυμένες ασκήσεις
7. Ασκήσεις προς λύση

8 Κεφάλαιο: Άκρες Τιμές Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών

1. Σχετικά μέγιστα και σχετικά ελάχιστα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών
2. Συνθήκες για την ύπαρξη άκρων τιμών συνάρτησης
3. Τετραγωνικές μορφές. Άκρες τιμές συναρτήσεων n–μεταβλητών n > 2
4. Άκρες τιμές πλεγμένων συναρτήσεων
5. Άκρες τιμές συνάρτησης υπό συνθήκη. Πολλαπλασιαστές Lagrange
6. Λυμένες ασκήσεις
7. Ασκήσεις προς λύση

Ασκήσεις, προς επανάληψη, με απαντήσεις
Βιβλιογραφία