Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Τα φυσικά φαινόμενα συνήθως εκφράζονται καλύτερα με τις μερικές διαφορικές εξισώσεις, γι’ αυτό και η γνώση τους, μετά τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, είναι απαραίτητες για τη μελέτη και την ανάλυση των προβλημάτων.
Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται οι μαθηματικές μέθοδοι για τη μελέτη και την επίλυση των διαφόρων μορφών των μερικών διαφορικών εξισώσεων.
Στο κεφάλαιο 1 αναφέρονται οι γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, το πρόβλημα του Cauchy (το πρόβλημα της αρχικής τιμής), οι εξισώσεις ολικών διαφορικών και η μέθοδος του Charpit για τις μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.
Στο κεφάλαιο 2 μελετώνται οι βασικές μορφές, οι ομογενείς και οι μη ομογενείς γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς και μη σταθερούς συντελεστές δεύτερης τάξης, η μέθοδος της αναγωγής στην κανονική μορφή, το πρόβλημα του Cauchy (το πρόβλημα της αρχικής τιμής) και η μέθοδος του διαχωρισμού των μεταβλητών.
Στο κεφάλαιο 3 γίνεται ταξινόμηση των γραμμικών συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων και αναπτύσσεται μέθοδος επίλυσης των ολικά υπερβολικών γραμμικών συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων.
Στο κεφάλαιο 4 δίνονται αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης των μερικών διαφορικών εξισώσεων (μερικές εξισώσεις διαφορών, μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς, μέθοδος των χαρακτηριστικών).
Σε κάθε κεφάλαιο περιέχονται αρκετά παραδείγματα για την καλύτερη κατανόηση των μεθόδων που αναπτύσσονται και ασκήσεις.
Στο κεφάλαιο 5 παραθέτουμε λυμένα προβλήματα που αναφέρονται σ’ όλη την ύλη των προηγούμενων κεφαλαίων και στο Κεφάλαιο 6 δίνονται ορισμένες χαρακτηριστικές εφαρμογές των μερικών διαφορικών εξισώσεων.
Τέλος, ο τίτλος του βιβλίου είναι μετάφραση της αγγλικής ονομασίας «Partial Differential Equations».

Περιεχόμενα

Εισαγωγή

1. Βασικές έννοιες και ορισμοί
2. Ταξινόμηση των μερικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης
3. Εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής

Κεφάλαιο 1: Μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

1. Γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης
2. Εξισώσεις ολικών διαφορικών
3. Μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης – Μέθοδος του Charpit
4. Ασκήσεις

Κεφάλαιο 2: Μερικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης

1. Ειδικές μορφές
2. Ομογενείς γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές
3. Μη ομογενείς γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης – Αναγωγή στην κανονική μορφή
4. Το πρόβλημα του Cauchy
5. Διαχωρισμός των μεταβλητών
6. Ασκήσεις

Κεφάλαιο 3: Συστήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων

1. Ταξινόμηση των γραμμικών συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων
2. Ολικά υπερβολικά γραμμικά συστήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων
3. Ασκήσεις

Κεφάλαιο 4: Αριθμητική επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων

1. Αναγωγή μερικών διαφορικών εξισώσεων σε μερικές εξισώσεις διαφορών
2. Μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς
3. Μέθοδος των χαρακτηριστικών
4. Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5: Λυμένα Προβλήματα

Κεφάλαιο 6: Εφαρμογές των μερικών διαφορικών εξισώσεων

1. Κυματική εξίσωση
2. Εξίσωση της θερμότητας
3. Εξίσωση του τηλεγράφου
4. Εξίσωση του Schrödinger
5. Το άτομο του υδρογόνου
6. Εξίσωση του Helmholtz
7. Εξισώσεις του Maxwell
8. Εξίσωση της Ελαστικότητας