Διαφορικές Εξισώσεις

Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με την οποία προσπαθούμε να εκφράσουμε διάφορα προβλήματα και να τα κατανοήσουμε. Οι διαφορικές εξισώσεις είναι απαραίτητες για την κατανόηση πολλών φυσικών, μαθηματικών και άλλων προβλημάτων.
Παρουσιάζουμε εδώ ορισμένες μαθηματικές τεχνικές επίλυσης βασικών μορφών διαφορικών εξισώσεων, χωρίς να επιβαρύνουμε την ανάπτυξη των μεθόδων με πολλές θεωρητικές αποδείξεις.
Το βιβλίο χωρίζεται σε επτά κεφάλαια.
Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και η μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων (μέθοδος του Picard).
Στο δεύτερο κεφάλαιο αναπτύσσονται οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης και ανώτερης τάξης, οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις του Euler, ο υποβιβασμός της τάξης, οι σειρές ως λύσεις διαφορικών εξισώσεων (μέθοδος Frobenius) και ορισμένες ειδικές μορφές.
Στο τρίτο κεφάλαιο αναφέρονται τα συστήματα διαφορικών εξισώσεων, τα πρώτα ολοκληρώματα, η μέθοδος της απαλοιφής, η μέθοδος των πινάκων και η μέθοδος του Putzer. Μελετώνται ακόμη, η ευστάθεια των γραμμικών συστημάτων διαφορικών εξισώσεων και η ευστάθεια σε πρώτη γραμμική προσέγγιση.
Στο τέταρτο κεφάλαιο αναπτύσσονται οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης, το αντίστοιχο πρόβλημα της αρχικής τιμής, οι εξισώσεις ολικών διαφορικών και οι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτης τάξης.
Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι μετασχηματισμοί Laplace και οι εφαρμογές τους στις διαφορικές εξισώσεις και τα συστήματα διαφορικών εξισώσεων.
Σε καθένα από τα παραπάνω κεφάλαια 1 έως 5 περιέχονται ασκήσεις που οι απαντήσεις τους δίνονται στο τέλος του βιβλίου.
Στο έκτο κεφάλαιο περιέχονται λυμένα προβλήματα απ’ όλα τα κεφάλαια και στο έβδομο κεφάλαιο δίνονται μερικές ενδιαφέρουσες και χρήσιμες εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων.
Η ανάλυση των εφαρμογών γίνεται με τέτοιο τρόπο, ώστε να γίνονται άμεσα κατανοητές, και να μη χρειάζεται ο αναγνώστης ν’ αναζητήσει πολύ ειδικές έννοιες των μαθηματικών.

Κεφάλαιο 1
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ

1. Διαφορικές εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών
2. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης
3. Πλήρεις διαφορικές εξισώσεις – Ολοκληρωτικοί παράγοντες
4. Ισογώνιες τροχιές
5. Διαφορικές εξισώσεις των Clairaut και Lagrange
6. Μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων (Μέθοδος του Picard)
7. Ασκήσεις

Κεφάλαιο 2
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ

1. Γραμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
2. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης της δεύτερης τάξης
3. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις του Euler
4. Υποβιβασμός της τάξης διαφορικής εξίσωσης
5. Σειρές ως λύσεις διαφορικών εξισώσεων
6. Ειδικές μορφές
7. Ασκήσεις

Κεφάλαιο 3
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1. Εισαγωγή – Βασικές έννοιες
2. Μέθοδος της απαλοιφής
3. Γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Μέθοδος των πινάκων
4. Γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης
5. Μέθοδος του Putzer
6. Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων διαφορικών εξισώσεων
7. Ευστάθεια σε πρώτη γραμμική προσέγγιση
8. Ασκήσεις

Κεφάλαιο 4
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

1. Πρώτα ολοκληρώματα
2. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτης τάξης
3. Το πρόβλημα του Cauchy
4. Εξισώσεις ολικών διαφορικών
5. Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτης τάξης
6. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης
7. Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LAPLACE

1. Ορισμοί – Βασικές ιδιότητες
2. Αντίστροφος μετασχηματισμός
3. Εφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις και στα συστήματα διαφορικών εξισώσεων
4. Ασκήσεις

Κεφάλαιο 6
ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Κεφάλαιο 7
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1. Διάδοση επιδημίας
2. Χρόνος θανάτου ενός ανθρώπου
3. Πώς να γίνεται εκατομμυριούχος
4. Τι ώρα άρχισε να χιονίζει;
5. Σχηματισμός των τιμών με βάση την προσφορά και τη ζήτηση
6. Πτώση της Γης στον Ήλιο
7. Ροή σωματιδίου σε ποταμό
8. Γεωμετρική εφαρμογή
9. Εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας
10. Συμπεριφορά κτιρίου σε σεισμό
11. Ταλαντώσεις
12. Δύο ανταγωνιστικά καταστήματα
13. Ένα συρόμενο τροχόσπιτο
14. Πρόβλημα κλιματισμού οικίας
15. Συνύπαρξη τριών πληθυσμών σε οικοσύστημα

Απαντήσεις των Ασκήσεων
Βιβλιογραφία
Ευρετήριο Όρων