Ανώτερα Μαθηματικά, Τόμος Πρώτος

Η σειρά με τον τίτλο «Ανώτερα Μαθηματικά», που αποτελείται από τρεις τόμους, γράφηκε για να προσφέρει σε Μαθηματικούς και μη Μαθηματικούς, μια αξιόπιστη και σχετικά συνοπτική παρουσίαση βασικών θεμάτων των Μαθηματικών, και κυρίως της Μαθηματικής Ανάλυσης.
Τα θέματα που αναπτύσσονται αφορούν την Αλγεβρα, την Αναλυτική Γεωμετρία, τις Ακολουθίες και Σειρές πραγματικών αριθμών, το Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό συναρτήσεων μίας ή περισσοτέρων μεταβλητών, τη Διανυσματική Ανάλυση, τις Σειρές Fourier, τις Μιγαδικές Συναρτήσεις, τις Διαφορικές Εξισώσεις και τις Εξισώσεις Διαφορών.
Η παρουσίαση αυτών των θεμάτων γίνεται με απλό, κατανοητό και πρακτικό τρόπο, χωρίς όμως να βλάπτεται η μαθηματική αυστηρότητα.
Βέβαια ο απαιτητικός αναγνώστης θα πρέπει να ανατρέξει σε άλλα πιο ειδικά βιβλία πάνω στα θέματα αυτά, όπου υπάρχουν περισσότερες λεπτομέρειες και άλλη επιπλέον ύλη.
Ο πρώτος τόμος αποτελείται από πέντε κεφάλαια.
Στο πρώτο κεφάλαιο περιέχονται στοιχεία άλγεβρας από συνδυαστική ανάλυση, ορίζουσες, γραμμικά συστήματα και θεωρία πινάκων.
Στο δεύτερο κεφάλαιο περιέχονται στοιχεία αναλυτικής γεωμετρίας από συστήματα συντεταγμένων, διανυσματικό λογισμό, το επίπεδο R², το χώρο R³, κυλινδρικές και κωνικές επιφάνειες.
Στο τρίτο κεφάλαιο περιέχονται βασικές έννοιες και κριτήρια σύγκλισης των ακολουθιών και σειρών πραγματικών αριθμών.
Στο τέταρτο Κεφάλαιο αναπτύσσονται βασικά θέματα του διαφορικού λογισμού συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής, όπως το όριο, η συνέχεια, η παράγωγος, τα βασικά θεωρήματα του διαφορικού λογισμού, ο κανόνας του l’ Hospital, οι σειρές του Taylor, τα μέγιστα και ελάχιστα συνάρτησης και η γραφική παράσταση συνάρτησης.
Στο πέμπτο κεφάλαιο αναπτύσσονται βασικά θέματα του ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής, όπως το ορισμένο και το αόριστο ολοκλήρωμα, οι βασικές τεχνικές της ολοκλήρωσης, ο κανόνας του Simpson (αριθμητική μέθοδος), η παραγώγιση και ολοκλήρωση ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων, τα γενικευμένα ολοκληρώματα και οι εφαρμογές του ολοκληρώματος.
Στο Παράρτημα παρουσιάζονται συνοπτικά οι μερικές παράγωγοι, τα ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών, το διπλό και τριπλό ολοκλήρωμα, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα και ο τύπος του Green, το επιεπιφάνειο ολοκλήρωμα και οι τύποι του Stokes και του Gauss.
Κάθε κεφάλαιο περιέχει ασκήσεις των οποίων οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου.

Περιεχόμενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

1. Συνδυαστική ανάλυση
2. Ορίζουσες – Γραμμικά συστήματα
3. Θεωρία Πινάκων
4. Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1. Συστήματα συντεταγμένων
2. Διανυσματικός Λογισμός
3. Γινόμενα διανυσμάτων (Εσωτερικό, Εξωτερικό, Μικτό)
4. Το επίπεδο R²
5. Ο χώρος R³
6. Κυλινδρικές και κωνικές επιφάνειες
7. Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ

1. Η έννοια της ακολουθίας – Οριακός αριθμός ακολουθίας
2. Συγκλίνουσες ακολουθίες – Πράξεις με τα όρια
3. Κριτήριο σύγκλισης του Cauchy – Mονότονες ακολουθίες
4. Η έννοια της σειράς – Βασικές ιδιότητες
5. Σειρές θετικών όρων – Κριτήρια σύγκλισης – Απόλυτη σύγκλιση
6. Εναλλάσσουσες σειρές – Κριτήριο του Leibniz
7. Αθροισμα και Πολλαπλασιασμός σειρών
8. Δυναμοσειρές
9. Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

1. Πραγματικοί αριθμοί – Η έννοια της συνάρτησης
2. Όριο και συνέχεια συνάρτησης
3. Παράγωγος συνάρτησης
4. Βασικά θεωρήματα του διαφορικού λογισμού
5. Κανόνας του L’ Hospital
6. Tύπος του Taylor – Σειρές του Taylor
7. Μέγιστα και ελάχιστα συνάρτησης – Γραφική παράσταση συνάρτησης
8. Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

1. Το ορισμένο ολοκλήρωμα και οι ιδιότητές του
2. Το αόριστο ολοκλήρωμα και οι ιδιότητές του – Βασικά αόριστα ολοκληρώματα
3. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες και ολοκλήρωση με αντικατάσταση
4. Τεχνικές της ολοκλήρωσης
5. Αριθμητική προσέγγιση – Κανόνας του Simpson
6. Παραγώγιση και ολοκλήρωση ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων
7. Γενικευμένα ολοκληρώματα
8. Εφαρμογές του ολοκληρώματος
9. Ασκήσεις

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ – ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΔΙΠΛΟ ΚΑΙ ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ – ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ GREEN
EΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ – ΤΥΠΟΣ STOKES –
ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ GAUSS

1. Μερικές παράγωγοι
2. Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών
3. Διπλό ολοκλήρωμα
4. Τριπλό ολοκλήρωμα
5. Διανυσματικές συναρτήσεις – Τελεστές (Κλίση, Απόκλιση, Στροφή)
6. Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
7. Επιεπιφάνειο ολοκλήρωμα – Τύπος του Stokes – Τύπος του Gauss
8. Ασκήσεις

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ