Πιθανότητες

Περιέχει:

• Bασικές έννοιες των πιθανοτήτων
• Μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές
• Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών
• Ειδικές κατανομές
• Συναρτήσεις τυχαίας μεταβλητής
• Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές

Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε φοιτητές των Ανωτάτων και Τεχνολογικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων και περιέχει την ύλη του μαθήματος των Πιθανοτήτων. Μπορεί, όμως, να φανεί χρήσιμο σε εκπαιδευτικούς της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, σε υποψήφιους δασκάλους των Μαθηματικών και στους μαθητές που συμμετέχουν σε μαθηματικούς διαγωνισμούς.
Αναπτύσσεται διεξοδικά η θεωρία των Πιθανοτήτων, απαλλαγμένη από περιττές μαθηματικές λεπτομέρειες. Σε κάθε έννοια που εισάγεται ακολουθούν αντιπροσωπευτικά παραδείγματα για την πλήρη κατανόησή της.
Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες των Πιθανοτήτων (δειγματικός χώρος, ενδεχόμενα, πιθανότητα, συνδυαστική, δεσμευμένη πιθανότητα, ανεξάρτητα ενδεχόμενα, θεώρημα ολικής πιθανότητας και τύπος του Bayes).
Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι έννοιες «συνάρτηση κατανομής» και «συνάρτηση πιθανότητας» των μονοδιάστατων τυχαίων μεταβλητών.
Το τρίτο κεφάλαιο πραγματεύεται τα χαρακτηριστικά των τυχαίων μεταβλητών, όπως είναι η μέση τιμή, η διασπορά, η τυπική απόκλιση, οι ροπές και οι ροπογεννήτριες.
Το τέταρτο κεφάλαιο πραγματεύεται τις κυριότερες διακριτές και συνεχείς κατανομές, προσεγγίσεις μεταξύ των διάφορων κατανομών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα.
Το πέμπτο κεφάλαιο αναφέρεται στις συναρτήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής, και συγκεκριμένα στην εύρεση της συνάρτησης κατανομής και της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της Υ=g(X)
Τέλος, στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές, οι κοινές συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας, τα χαρακτηριστικά τους καθώς και οι συναρτήσεις δύο τυχαίων μεταβλητών.
Στο τέλος του βιβλίου παρατίθενται δύο παραρτήματα. Στο πρώτο παράρτημα περιέχονται οι πίνακες της τυπικής κανονικής κατανομής και των κατανομών x², t και F. Στο δεύτερο παράρτημα είναι συγκεντρωμένοι όλοι οι τύποι και οι ιδιότητες των Πιθανοτήτων, κάτι που βοηθά τον αναγνώστη για μια πλήρη εικόνα του μαθήματος. Ακολουθεί ευρετήριο όρων και βιβλιογραφία.
Οι λύσεις των προτεινόμενων ασκήσεων δίνονται στο CD που συνοδεύει το βιβλίο.

Περιεχόμενα

Κεφάλαιο 1: Βασικές Έννοιες των Πιθανοτήτων

1. Δειγματικός χώρος και ενδεχόμενα
2. Η έννοια της πιθανότητας
   • Κλασικός ορισμός της πιθανότητας
   • Στατιστικός ορισμός της πιθανότητας
   • Αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας
   • Κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων
   • Γεωμετρική πιθανότητα
3. Συνδυαστική
   • Βασική αρχή απαρίθμησης ή πολλαπλασιαστική αρχή
   • Μεταθέσεις
   • Διατάξεις
   • Συνδυασμοί
   • Προσθετική αρχή απαρίθμησης
   • Τρόποι δειγματοληψίας
   • Τύπος του Stirling
   • Αρχή συμπερίληψης εξαίρεσης
4. Δεσμευμένη πιθανότητα – Ανεξάρτητα ενδεχόμενα
   • Δεσμευμένη πιθανότητα
   • Πολλαπλασιαστικός νόμος των πιθανοτήτων
   • Ανεξάρτητα ενδεχόμενα
5. Θεώρημα ολικής πιθανότητες – Τύπος Bayes
   • Θεώρημα ολικής πιθανότητας
   • Τύπος Bayes

   Ασκήσεις

Κεφάλαιο 2: Μονοδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές

1. Τυχαίες μεταβλητές
2. Συναρτήσεις κατανομής
3. Συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας
   • Διακριτές κατανομές πιθανότητας
   • Συνεχείς κατανομές πιθανότητας
   • Συνάρτηση πυκνότητας μεικτής τυχαίας μεταβλητής

   Ασκήσεις

Κεφάλαιο 3: Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών

1. Μέση τιμή
2. Διακύμανση και τυπική απόκλιση
   Τυποποιημένη μεταβλητή
3. Ροπές και διάφορες παράμετροι
4. Ανισότητα του Chebyshev
5. Ροπογεννήτριες
   Ασκήσεις

Κεφάλαιο 4: Ειδικές Κατανομές

1. Ομοιόμορφη διακριτή κατανομή
2. Κατανομή Bernoulli
3. Διωνυμική κατανομή
4. Υπεργεωμετρική κατανομή
5. Κατανομή Pascal
6. Αρνητική διωνυμική κατανομή
7. Κατανομή Poisson
8. Πολυωνυμική κατανομή
9. Ομοιόμορφη συνεχής κατανομή
10. Εκθετική κατανομή
11. Κανονική κατανομή
12. Λογαριθμική ή λογαριθμοκανονική κατανομή
13. Κατανομή Γάμα
14. Κατανομή Cauchy
15. Κατανομή Βήτα
16. Κατανομή x²
17. Κατανομή Student
18. Κατανομή Weibull
19. Κατανομή F
20. Προσέγγιση διωνυμικής και Poisson με κανονική κατανομή
21. Κεντρικό οριακό θεώρημα
    Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5: Συναρτήσεις Τυχαίας Μεταβλητής

1. Η τυχαία μεταβλητή Y=g(X)
2. Η συνάρτηση κατανομής της Y=g(X)
3. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Y=g(X)
   Ασκήσεις

Κεφάλαιο 6: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές

1. Κοινές συναρτήσεις πιθανότητας και κατανομής
   • Η περίπτωση των διακριτών μεταβλητών
   • Η περίπτωση των συνεχών μεταβλητών
2. Ανεξαρτησία πολυδιάστατων μεταβλητών
3. Χαρακτηριστικά πολυδιάστατων μεταβλητών
4. Συναρτήσεις δύο τυχαίων μεταβλητών
   • Η τυχαία μεταβλητή Ζ=ΧY
   • Δύο συναρτήσεις δύο τυχαίων μεταβλητών
   • Η χρήση βοηθητικής μεταβλητής

   Ασκήσεις

Παράρτημα 1: Πίνακες

• Τιμές της P(0<Z<=z) για την κανονική κατανομή Ν(0,1)
• Τιμές x²_ν,α της κατανομής x²_ν, α=P(x²_ν,α)
• Τιμές t_ν,α της κατανομής Student, α=P(t_ν>t_ν,α,
• Τιμές F_{ν1, ν2; α} της κατανομής F, α=P(F>F_{ν1, ν2; α})=0,05

Παράρτημα 2: Τυπολόγιο Πιθανοτήτων

1. Ιδιότητες των πράξεων ενδεχομένων
2. Κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων
3. Συνδυαστική
4. Μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές
5. Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών
6. Πίνακας διακριτών κατανομών
7. Πίνακας συνεχών κατανομών
8. Προσεγγίσεις κατανομών
9. Κεντρικό οριακό θεώρημα
10. Συναρτήσεις τυχαίας μεταβλητής
11. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές
12. Χρήσιμοι μαθηματικοί τύποι

Βιβλιογραφία
Ευρετήριο όρων