Μιγαδικές Συναρτήσεις

Tο βιβλίο αυτό απευθύνεται σε φοιτητές Θετικών Επιστημών και Πολυτεχνείου και περιέχει την ύλη του μαθήματος των Μιγαδικών Συναρτήσεων (ή της Μιγαδικής Ανάλυσης).
Οι μέθοδοι της Μιγαδικής Ανάλυσης χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων της επιστήμης και της τεχνολογίας.
Η Μιγαδική Ανάλυση θεμελιώθηκε αυστηρά το 19ο αιώνα από τους Cauchy, Riemann, Weierstrass, Gauss, κ.ά.
Τα κεφάλαια που αναπτύσσονται στο βιβλίο αυτό είναι:

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών
2. Όριο και συνέχεια μιγαδικών συναρτήσεων
3. Παράγωγος μιγαδικών συναρτήσεων
4. Ολοκλήρωση μιγαδικών συναρτήσεων
5. Σειρές μιγαδικών συναρτήσεων
6. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα
7. Σύμμορφες απεικονίσεις.

Η θεωρία παρουσιάζεται συνοπτικά και λύνονται αντιπροσωπευτικά παραδείγματα για κάθε περίπτωση. Σε κάθε κεφάλαιο προτείνονται ασκήσεις για λύση, για τις οποίες δίνονται υποδείξεις και απαντήσεις στο τέλος του βιβλίου.

Περιεχόμενα

Κεφάλαιο 1
Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Πράξεις και μέτρο μιγαδικών αριθμών
2. Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού
3. Πολυωνυμικές εξισώσεις στο σύνολο C
4. Ρίζες μιγαδικών αριθμών
   Προτεινόμενες ασκήσεις

Κεφάλαιο 2
Όριο και συνέχεια μιγαδικών συναρτήσεων

1. Η έννοια της μιγαδικής συνάρτησης
2. Όριο μιγαδικής συνάρτησης
3. Συνέχεια μιγαδικής συνάρτησης
   Προτεινόμενες ασκήσεις

Κεφάλαιο 3
Παράγωγος μιγαδικών συναρτήσεων

1. Η έννοια της παραγώγου μιγαδικής συνάρτησης
2. Παράγωγος στοιχειωδών μιγαδικών συναρτήσεων
3. Κανόνες παραγώγισης μιγαδικών συναρτήσεων
4. Οι συνθήκες των Cauchy – Riemann
5. Αρμονικές συναρτήσεις

Κεφάλαιο 4
Ολοκλήρωση μιγαδικών συναρτήσεων

1. Ολοκλήρωση μιγαδικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβολής
2. Μιγαδικό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
3. Ολοκλήρωμα ολόμορφης μιγαδικής συνάρτησης
4. Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy
5. Τα θεωρήματα Morera και Liouville
6. Τα θεωρήματα μέγιστου και ελάχιστου μέτρου
   Προτεινόμενες ασκήσεις

Κεφάλαιο 5
Σειρές Μιγαδικών Συναρτήσεων

1. Σειρές μιγαδικών αριθμών
2. Σειρές μιγαδικών συναρτήσεων
3. Η σειρά Taylor
4. H σειρά Laurent
5. Ανώμαλα σημεία και πόλοι
   Προτεινόμενες ασκήσεις

Κεφάλαιο 6
Ολοκληρωτικά Υπόλοιπα

1. Θεωρία ολοκληρωτικών υπολοίπων
2. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων ειδικής μορφής
3. Ρίζες ολόμορφων συναρτήσεων
   Προτεινόμενες ασκήσεις

Κεφάλαιο 7
Σύμμορφες Απεικονίσεις

1. Η έννοια της σύμμορφης απεικόνισης
2. Ο μετασχηματισμός Möbius
3. Ο μετασχηματισμός Schwartz – Christoffel
   Προτεινόμενες ασκήσεις

Σύντομες λύσεις των ασκήσεων