Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Πολλά προβλήματα των Φυσικών και γενικότερα των Τεχνικών Επιστημών είναι προβλήματα συμμεταβολής διαφόρων μεγεθών. Η μελέτη αυτών των προβλημάτων αποβλέπει στον προσδιορισμό των σχέσεων που υπάρχουν μεταξύ των μεγεθών αυτών, δηλαδή στην εύρεση του νόμου (του τύπου), ο οποίος διέπει το φαινόμενο.
Αλλά σε πολλά από τα προβλήματα αυτά δεν είναι δυνατόν να συνδέσουμε αμέσως τις μεταβλητές του προβλήματος, διότι καταλήγουμε σε σχέσεις οι οποίες συνδέουν τις μεταβλητές και τα διαφορικά τους, δηλαδή σε διαφορικές εξισώσεις. Αυτό σημαίνει ότι, η γνώση μεθόδων για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων και από μη μαθηματικούς, είναι απαραίτητη.
Το βιβλίο αυτό περιέχει συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Η περιεχόμενη ύλη αναφέρεται στις μεθόδους επίλυσης των συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων και αποτελεί το ελάχιστο των γνώσεων, οι οποίες είναι βασικές και απαραίτητες για την επίλυση σχετικών προβλημάτων.
Για την καλύτερη κατανόηση της περιεχόμενης ύλης (δηλαδή επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων), οι σχετικές μέθοδοι παρουσιάζονται αρκετά απλά και με αρκετά λυμένα παραδείγματα, καθώς και πολλές άλυτες ασκήσεις με τις απαντήσεις τους. Αντίθετα το θεωρητικό μέρος είναι περιορισμένο, καθώς τα περισσότερα από τα απαραίτητα θεωρήματα αναφέρονται χωρίς αποδείξεις.
Εκτός από τη συνηθισμένη ύλη των συνήθων διαφορικών εξισώσεων στο βιβλίο αυτό έχουν προστεθεί:

• συνοπτική θεωρία που αναφέρεται στο αόριστο ολοκλήρωμα,
• ένα αρκετά εκτεταμένο τυπολόγιο ολοκληρωμάτων, καθώς και
• αναπτύγματα μερικών βασικών συναρτήσεων.

Περιεχόμενα

Κεφάλαιο 1: Διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης

1. Βασικοί ορισμοί – Σχηματισμός διαφορικής εξίσωσης
2. Εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών
3. Εξισώσεις ομογενείς
4. Εξισώσεις αναγόμενες σε ομογενείς
5. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης
6. Διαφορικές εξισώσεις Βernoulli
7. Διαφορικές εξισώσεις Riccati
8. Διαφορικές εξισώσεις Lagrange
9. Διαφορικές εξισώσεις Clairaut
10. Διαφορικές εξισώσεις αμέσως ολοκληρώσιμες
11. Ολοκληρωτικοί παράγοντες ή πολλαπλασιαστές του Εuler
12. Ιδιάζουσες λύσεις
13. Ισογώνιες τροχιές
14. Μαθηματικά μοντέλα
15. Λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης
    Περίληψη του πρώτου κεφαλαίου
    Λυμένες ασκήσεις διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης

Κεφάλαιο 2: Διαφορικές εξισώσεις ανωτέρας τάξης

1. Διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν μια παράγωγο και την ανεξάρτητη μεταβλητή
2. Διαφορικές εξισώσεις στις οποίες λείπει η άγνωστη συνάρτηση (το y)
3. Διαφορικές εξισώσεις στις οποίες λείπει η ανεξάρτητη μεταβλητή (το x)
4. Διαφορικές εξισώσεις ομογενείς ως προς y, y’, y”, …, y^(ν-1)
5. Διαφορικές εξισώσεις ομογενείς ως προς x
   Λυμένες ασκήσεις διαφορικών εξισώσεων του 2ου κεφαλαίου

Κεφάλαιο 3: Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τάξης ν > ή = του 2

1. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης με μεταβλητούς συντελεστές
2. Γενική λύση ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξης
3. Γενική λύση μη ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξης
4. Μέθοδος μεταβολής των αυθαιρέτων σταθερών ή μέθοδος του Lagrange
5. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης με σταθερούς συντελεστές
6. Γενική λύση ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξης με σταθερούς συντελεστές
7. Γενική λύση μη ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξης με σταθερούς συντελεστές
8. Γενική λύση μη ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξης με σταθερούς συντελεστές για ειδική μορφή του δευτέρου μέλους
9. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ν-τάξης (ν>2) με μεταβλητούς συντελεστές
10. Γενική λύση ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ν-τάξης (ν>2) με μεταβλητούς συντελεστές
11. Γενική λύση μη ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ν-τάξης (ν>2) με μεταβλητούς συντελεστές
12. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ν-τάξης (ν>2) με σταθερούς συντελεστές
13. Γενική λύση ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ν-τάξης (ν>2) με σταθερούς συντελεστές
14. Γενική λύση μη ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ν-τάξης (ν>2) με σταθερούς συντελεστές
15. Διαφορικές εξισώσεις του Euler ν-τάξης (ν μεγαλύτερο ή ίσο του 2)
16. Γενικευμένη διαφορική εξίσωση του Εuler
17. Επίλυση γραμμικής διαφορικής εξίσωσης τάξης ν μεγαλύτερο ή ίσο του 2 με σταθερούς συντελεστές με τη μέθοδο του τελεστού παραγώγισης d/dx = D
    Περίληψη του τρίτου κεφαλαίου
    Λυμένες ασκήσεις γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ν-τάξης

Κεφάλαιο 4: Διαφορικά συστήματα ή συστήματα διαφορικών εξισώσεων

1. Βασικοί ορισμοί
2. Κανονική μορφή διαφορικού συστήματος
3. Γενική λύση γραμμικών διαφορικών συστημάτων
4. Μέθοδος διαδοχικών απαλοιφών αγνώστων συναρτήσεωνΓραμμικά Διαφορικά Συστήματα με Σταθερούς Συντελεστές
5. Λύση γραμμικών διαφορικών συστημάτων με τη μέθοδο της απαλοιφής αγνώστων συναρτήσεων
6. Λύση γραμμικών διαφορικών συστημάτων με τη μέθοδο των διαφορικών τελεστών
7. Λύση γραμμικών διαφορικών συστημάτων με τη μέθοδο των πινάκων
   Περίληψη του τετάρτου κεφαλαίου
   Λυμένες ασκήσεις γραμμικών διαφορικών συστημάτων

Κεφάλαιο 5: Προσεγγιστικές μέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων

1. Εισαγωγικά
2. Γραφική μέθοδος επίλυσης διαφορικών εξισώσεων – μέθοδος των ισοκλινών καμπύλων
3. Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων (μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων του Ricard)
   Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με προσεγγιστικές μεθόδους
   Λυμένες ασκήσεις

Κεφάλαιο 6: Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με τη βοήθεια δυναμοσειρών

1. Εισαγωγικά – Ορισμοί
2. Επίλυση διαφορικής εξίσωσης δευτέρας τάξης με τη βοήθεια δυναμοσειράς στην περιοχή ενός συνήθους σημείου αυτής
3. Επίλυση διαφορικής εξίσωσης δευτέρας τάξης σε ομαλά ιδιόμορφα σημεία αυτής (μέθοδος Frobenius)
   Περίληψη του έκτου κεφαλαίου
   Λυμένες ασκήσεις γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με τη βοήθεια δυναμοσειρών

Κεφάλαιο 7: Διαφορική εξίσωση του Bessel

1. Διαφορική εξίσωση του Βessel
2. Λύση της διαφορικής εξίσωσης του Bessel τάξης p
3. Συνάρτηση r(p)
4. Συναρτήσεις Βessel
   Λυμένες ασκήσεις

Κεφάλαιο 8: Εφαρμογές διαφορικών εξισώσεων

1. Εισαγωγή
2. Προβλήματα ψύξης
3. Προβλήματα αύξησης και μείωσης
4. Νόμος της προσφοράς και της ζήτησης
5. Μόλυνση των λιμνών
6. Δοκοί (γενικά)
   Γενικά παραδείγματα

Κεφάλαιο 9: Ποιοτική μελέτη των λύσεων αυτόνομων διαφορικών εξισώσεων

1. Ποιοτική μελέτη των λύσεων αυτόνομων διαφορικών εξισώσεων
   Λυμένες ασκήσεις
   Ασκήσεις για λύση

Κεφάλαιο 10: Προβλήματα συνοριακών τιμών

1. Προβλήματα συνοριακών τιμών
2. Μοναδικότητα των λύσεων
   Λυμένες ασκήσεις

Αλυτες Ασκήσεις

Παράρτημα Ι
Βασικοί ορισμοί και τεχνικές από τον ολοκληρωτικό λογισμό
Γενικές μέθοδοι ολοκλήρωσης (=ΓΜΟ)
Ανάλυση ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσματα

Παράρτημα ΙΙ
Πίνακας βασικών ολοκληρωμάτων

Παράρτημα ΙΙΙ
Αναπτύγματα βασικών συναρτήσεων

Αλυτες Ασκήσεις