Λογισμός Διαφορικών Mορφών στην Eυκλείδεια Πολλαπλότητα

Tο βιβλίο αυτό αναφέρεται στη μελέτη των διαφορικών μορφών στην Eυκλείδεια πολλαπλότητα Rⁿ, και περιέχει την ύλη που διδάσκεται στο μάθημα επιλογής “Διαφορικές Mορφές” του Στ’ εξαμήνου του Tμήματος Mαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης.
Στη νέα του έκδοση γίνονται κάποιες προσθήκες στο περιεχόμενο του και μικρές αλλαγές, ώστε να υπάρχει ολοκληρωμένη εικόνα των εννοιών που παρατίθενται και της χρησιμότητάς τους.
Το κυρίως περιεχόμενο του βιβλίου αναφέρεται στον αλγεβρικό τανυστικό λογισμό, τις διαφορικές μορφές στην Ευκλείδεια πολλαπλότητα Rn και τα ολοκληρώματα τους (Θεώρημα Stokes). Επιπλέον δίνονται εισαγωγικά στοιχεία του ορισμού της έννοιας της πολλαπλότητας και της δέσμης.
Αναγκαία στοιχεία από άλλους τομείς των μαθηματικών μπορούν να θεωρηθούν οι παρακάτω έννοιες: διανυσματικοί χώροι πεπερασμένης διάστασης, γραμμικοί μετασχηματισμοί, πίνακες, ορίζουσες, παραγώγιση (ως γραμμική απεικόνιση), θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης, ολοκληρώματα (επικαμπύλια, επιφάνειας, όγκου), θεωρήματα αλλαγής μεταβλητών σε πολλαπλά ολοκληρώματα, τοπολογία του Rⁿ (ανοικτά σύνολα).
Αρχικά γίνεται μια σύντομη επισκόπηση της διαφορικής γεωμετρίας μέχρι τις τελευταίες εξελίξεις και τις εφαρμογές τους στα διάφορα πεδία επιστημών.
Στη συνέχεια δίνονται βασικά στοιχεία του λογισμού των διαφορικών μορφών, δηλαδή περισσότερο έννοιες που το συγκροτούν παρά αποδείξεις πολύπλοκων θεωρημάτων -που άλλωστε είναι ελάχιστα- και που παρουσιάζονται σε απλή μορφή. Xρησιμοποιούνται, κυρίως συμβολισμοί με τη βοήθεια συντεταγμένων που απλουστεύουν τους υπολογισμούς, ενώ συμβολισμοί χωρίς τη χρήση δεικτών αναφέρονται στην περίπτωση που δίνουν αξιοσημείωτα αποτελέσματα. Kάποια στοιχεία γραμμικής αλγεβρας και ανάλυσης παρατίθενται για να εισάγουν έννοιες και αποτελέσματα απαραίτητα στα επόμενα.
Περιλαμβάνει έξι κεφάλαια. Tο πρώτο κεφάλαιο αναφέρει εισαγωγικά στοιχεία της θεωρίας διανυσματικών χώρων που δίνει τεχνικές για την οργάνωση και διατύπωση εννοιών με όσο το δυνατόν λιγότερα σύμβολα.
Tο δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται αποκλειστικά στους τελείως αντισυμμετρικούς τανυστές και τις πράξεις τους, δηλαδή στην εξωτερική άλγεβρα των τανυστών.
Στο τρίτο κεφάλαιο δίνονται οι τανυστές στην περίπτωση του Ευκλείδειου χώρου.
Στο τέταρτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της Ευκλείδειας πολλαπλότητας Rⁿ και των γραμμικών διαφορικών μορφών της Rⁿ.
Στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται η μελέτη των διαφορικών μορφών πάντοτε στην πολλαπλότητα Rⁿ.
Tέλος, το έκτο κεφάλαιο αφιερώνεται αποκλειστικά στην ολοκλήρωση των διαφορικών μορφών, αρχικά στον διδιάστατο και τριδιάστατο χώρο, ώστε να αναγνωρίζει κανείς οικείους τύπους που εκφράζονται με τη βοήθεια διαφορικών μορφών, και να γίνεται ευκολότερα κατανοητή η γενίκευσή τους στον χώρο Rⁿ, που ακολουθεί.
Kαθένα κεφάλαιο συμπληρώνεται με παραδείγματα και απλές ασκήσεις. Aκολουθεί εκτενής βιβλιογραφία.

Περιέχει:
Eισαγωγική και ιστορική αναδρομή

1. Στοιχεία τανυστών
2. Eξωτερικές μορφές
3. Eυκλείδειοι τανυστές
4. Στοιχεία της ευκλείδειας πολλαπλότητας Rⁿ
5. Διαφορικές μορφές
6. Oλοκληρώματα διαφορικών μορφών