Μαθηματικά στις Πολιτικές Επιστήμες

Το βιβλίο αυτό σχεδιάστηκε ώστε να ελαχιστοποιήσει τις απαιτήσεις μαθηματικών γνώσεων πριν την ανάγνωση του και τη μελέτη του από τον ενδιαφερόμενο αναγνώστη. Διαπραγματεύεται θέματα από το σύνολο των μαθηματικών γνώσεων που οι συγγραφείς του πιστεύουν ότι δίνουν μια γεύση στον ενδιαφερόμενο για τις δυνατότητες χρήσης μαθηματικών τεχνικών και μεθόδων στις πολιτικές επιστήμες.
Τα μαθηματικά προσπαθούν να απεικονίσουν την πραγματικότητα με μια συμβολική γλώσσα και να δώσουν τη δυνατότητα να διαμορφωθούν αφηρημένα πρότυπα από συγκεκριμένα προβλήματα. Σε αυτή την προσπάθεια χρησιμοποιούν δομές και τεχνικές. Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται μαθηματικές δομές όπως «το σύνολο» και «το γράφημα» που είναι οι απλούστερες μαθηματικές δομές, δομές δηλαδή με τις ελάχιστες προϋποθέσεις και απαιτήσεις.
Οτιδήποτε, οποιαδήποτε συλλογή αντικειμένων ή υποκειμένων μπορεί να αποτελέσει ένα σύνολο. Αρκεί να υπάρχει κάτι, κάποια ιδιότητα που τα συνδέει. Κράτη που έχουν ένα κοινό συνδετικό στοιχείο, όπως οι 25 χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης, αποτελούν ένα σύνολο. Οι πενήντα έξι εκλογικές περιφέρειες της Ελλάδας αποτελούν ένα σύνολο, οι δεκατρείς διοικητικές περιφέρειες, οι χίλιοι τριάντα τρεις Ο.Τ.Α, οι φοιτητές του τμήματος Πολιτικών Επιστημών, τα μέλη της Ν.Δ., οι τριακόσιοι βουλευτές. Σε κάθε περίπτωση από τις παραπάνω μαζί με το σύνολο υπάρχει ο συνδετικός κρίκος όλων τους, η κοινή ιδιότητα τους.
Τα σύνολα συνδέονται μεταξύ τους μέσω συναρτήσεων. Σχέσεων δηλαδή των στοιχείων τους. Μαθαίνουμε να περιγράφουμε συναρτήσεις μεταξύ συνόλων. Συνήθως η συνάρτηση αναφέρεται σε ένα σύνολο ορισμού και σε ένα σύνολο τιμών. Μετράει πόσο κοστίζει για το κάθε στοιχείο του συνόλου ορισμού η σχέση των δύο συνόλων.
Το γράφημα απεικονίζει την απλούστερη σχέση μέσα σε ένα σύνολο. Τα στοιχεία του συνδέονται ή δεν συνδέονται ανά δύο μεταξύ τους ως προς κάποια απλή σχέση. Στο σύνολο των πενήντα έξι εκλογικών περιφερειών, οι συνδέσεις μπορεί να αναφέρονται στην ύπαρξη κοινού συνόρου μεταξύ των περιφερειών, στο σύνολο των φοιτητών μπορεί να αναφέρονται στο αν γνωρίζονται μεταξύ τους, στους βουλευτές αν προέρχονται από το ίδιο κόμμα ή την ίδια περιφέρεια. Σε κάθε γράφημα, η επισήμανση και η χρήση της σχέσης που ορίζεται από αυτό είναι σημαντική. Τεχνικές στα γραφήματα και απλά προβλήματα οδηγούν σε ιδιαίτερα χρήσιμες εφαρμογές και γενικεύσιμες λύσεις.
Από τις πρώτες μέρες πολιτισμού στον πλανήτη γη προέκυψε η ανάγκη «της απαρίθμησης». Οι πρώτοι άνθρωποι χρησιμοποιούσαν τα δάκτυλα των χεριών τους (κάτι που κάνουν και τα μικρά παιδιά) για «να μετρήσουν», να αντιστοιχίσουν δηλαδή σύνολα αριθμών σε στοιχεία συνόλων. Στο βιβλίο αυτό διαπραγματευόμαστε τις τεχνικές για να μετράμε, να απαριθμούμε ακολουθώντας τα βήματα των πρώτων ανθρώπων. Συνδυάζουμε, για να βρούμε, πόσες διαφορετικές τριάδες μπορούν να σχηματιστούν από ένα σύνολο δεκαπέντε ατόμων, μεταθέτουμε για να δούμε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τους βάλουμε να κάτσουν στο ίδιο τραπέζι, διατάσσουμε για να δούμε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να βάλουμε τέσσερις από αυτούς στη σειρά. Και όχι μόνο αυτό. Πόσες διαφορετικές λύσεις μπορεί να προκύψουν σε ένα σύνθετο πρόβλημα διαπραγμάτευσης; Πόσες διαφορετικές στρατηγικές μπορεί να χρησιμοποιηθούν; Πόσα είναι τα διαφορετικά προγράμματα εξετάσεων σε μια εξεταστική περίοδο; Σκόπιμα δεν ενδιαφερόμαστε στο πλαίσιο αυτού του βιβλίου με την επιλογή του καλύτερου από τους διαφορετικούς τρόπους. Αυτό αποτελεί αντικείμενο άλλων τεχνικών και διαδικασιών στην βάση κριτηρίων και υποθέσεων.
Η πιθανότητα είναι μια έννοια που εισέρχεται στην καθημερινή μας ζωή. Σχεδόν το σύνολο των προβλημάτων που αντιμετωπίζουμε κυριαρχείται από ενδεχόμενα, γεγονότα, αβεβαιότητες. Βέβαια είναι ελάχιστα. Φυσικά και κοινωνικά φαινόμενα έχουν αβέβαια εξέλιξη, πλήθος εναλλακτικών λύσεων, που κάθε μια πρέπει να μετρηθεί, να υπολογιστεί πόσο πιθανό είναι να συμβεί. Στο βιβλίο αυτό διαπραγματευόμαστε τις τεχνικές για να υπολογίζουμε, να μετράμε την πιθανότητα κάθε εναλλακτικής λύσης εκ των προτέρων βασιζόμενοι στην ανάλυση του φαινομένου που μελετάμε χωρίς να πειραματιζόμαστε ή να παρακολουθούμε. Στοχαζόμαστε, και από αυτή την ελληνική λέξη προκύπτει η περιγραφή στοχαστικό για πλήθος φαινομένων και διαδικασιών. Προϋποθέτουμε ότι αυτός που μελετά, γνωρίζει το φαινόμενο, μπορεί να το αναλύσει σε βάθος, να εξετάσει τις πλευρές του και τις εξελίξεις του. Τα πειράματα και οι αποφάσεις είναι φυσικά μια άλλη, μεγάλη και γοητευτική ιστορία!
Συνθήκες και δεδομένα υπάρχουν πολλές στην καθημερινότητα μας. Η φράση «τι θα συνέβαινε αν …» είναι μια φράση που πολλές φορές σκεφτόμαστε και επαναλαμβάνουμε. Ποια είναι η πιθανότητα ένας αθώος να κατέχει κάποια υλικά ή να βρέθηκε σε κάποιο σημείο; Ποια είναι η πιθανότητα ένας που βρέθηκε σε κάποιο σημείο ή κατέχει κάποια υλικά να είναι αθώος; Είναι δυο διαφορετικά πράγματα, δυο διαφορετικές καταστάσεις που δεν πρέπει ποτέ να συγχέονται. Μαθαίνουμε να μετράμε, να υπολογίζουμε υπό τις δεδομένες συνθήκες διαφορετικές πιθανότητες. Φυσικά, οι αποφάσεις με βάση τους υπολογισμούς είναι μια άλλη υπόθεση!

Περιεχόμενα

Εισαγωγή

1 Θεωρία Συνόλων και Αλγόριθμοι

1. Εισαγωγή
2. Πράξεις στα σύνολα
3. Συναρτήσεις
4. Διατεταγμένα ζεύγη. Διμελείς σχέσεις
5. Ισοδυναμία συνόλων. Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα
6. Αρχή της συμπερίληψης – εξαίρεσης
7. Αλγόριθμοι
8. Ασκήσεις
9. Λύσεις των Ασκήσεων

2 Απαρίθμηση

1. Εισαγωγή
2. Κανόνες της απαρίθμησης
3. Η αρχή του περιστερώνα
4. Μεταθέσεις
5. Διατάξεις
6. Επαναληπτικές Διατάξεις
7. Διατάξεις όμοιων αντικειμένων
8. Συνδυασμοί χωρίς επανάθεση
9. Συνδυασμοί με επανάθεση
10. Δημιουργία μεταθέσεων και συνδυασμών
11. Ασκήσεις
12. Λύσεις Ασκήσεων

3 Θεωρία Πιθανοτήτων

1. Εισαγωγή
2. Η Πιθανότητα
3. Δεσμευμένη πιθανότητα
4. Τύπος του Bayes
5. Η μέθοδος των ορίων
6. Ασκήσεις
7. Λύσεις Ασκήσεων

4 Γραφήματα

1. Εισαγωγή
2. Πολυγραφήματα και βεβαρημένα γραφήματα
3. Ελάχιστα μονοπάτια σε βεβαρημένα γραφήματα
4. Χρωματισμοί
5. Ασκήσεις
6. Λύσεις Ασκήσεων

5 Ειδικά Γραφήματα

1. Δένδρα
2. Γραφήματα Euler
3. Γραφήματα Hamilton
4. Επίπεδα Γραφήματα
5. Ασκήσεις
6. Λύσεις Ασκήσεων