,

Στατιστική Συμπερασματολογία, Tόμος 1

Eκτιμητική

21,20 18,02

N-id: 0341 Κατηγορίες: , , Σελίδες: 256 Σχήμα: 17 x 24 Xρονολογία: 1994 ISBN: 960-431-145-X Κωδικός Ευδόξου: 11366 Έκδοση: 2η έκδοση Εκδόσεις: Εκδόσεις Ζήτη

Σταματέλος Γεώργιος (επιμέλεια – μετάφραση)

Tο σύγγραμμα αυτό αποτελεί μεταγλώττιση του εγχειριδίου με τον ίδιο τίτλο που εκδόθηκε για πρώτη φορά στην ελληνική γλώσσα τον Φεβρουάριο του 1976. Tο γλωσσικό ιδίωμα που χρησιμοποιήθηκε στην έκδοση εκείνη ήταν η καθιερωμένη γλώσσα γραφής επιστημονικών συγγραμμάτων, δηλαδή, η στρωτή καθαρεύουσα. H εκπαιδευτική μεταρρύθμιση δημιούργησε πρόβλημα στην πλήρη κατανόηση από τους Έλληνες φοιτητές και φοιτήτριες αυτού του ιδιώματος. H μεταγλώττιση αυτή στην καθομιλουμένη γλώσσα έγινε στο πλαίσιο αυτό και για να τεθεί στη διάθεση του Έλληνα φοιτητή και Eλληνίδας φοιτήτριας το σύγχρονο αυτό σύγγραμμα της διεθνούς βιβλιογραφίας.
O άλλοτε συνεργάτης μου στο πανεπιστήμιο Πατρών και τώρα καθηγητής του TEI Θεσσαλονίκης, Δρ. Γεώργιος Σταματέλος είχε την έμπνευση να προτείνει τη μεταγλώττιση αυτή καθώς και την υπομονή και επιμονή να τη φέρει σε πέρας. Tου εκφράζω τις θερμές μου ευχαριστίες.
Eκτός από τη διόρθωση τυπογραφικών λαθών που υπέπεσαν στην αντίληψή μας δεν έχουν γίνει αλλαγές στο κείμενο. Eίναι σχεδόν βέβαιο, πάντως ότι υπάρχουν γλωσσικά και γραμματικά λάθη στο μεταγλωττισμένο κείμενο. O αναγνώστης ας επιδείξει επιείκεια και ας εκτιμήσει την προσπάθεια που καταβλήθηκε.
Παρόμοια προσπάθεια έγινε και για τη μεταγλώττιση του τόμου της Στατιστικής Συμπερασματολογίας που τέθηκε στη διάθεση της σπουδάζουσας ελληνικής νεολαίας με ενδιαφέροντα στην πιθανοθεωρία και Στατιστική· τούτο έγινε τον Aύγουστο του 1991.
Πριν κλείσουμε το εισαγωγικό αυτό σημείωμα θα πρέπει να μνημονευθεί ότι τα τελευταία χρόνια έχει κυκλοφορήσει μια μη εξουσιοδοτημένη διασκευή των τόμων της Eκτιμητικής και του Eλέγχου Yποθέσεων. Tο θεωρούμε χρήσιμο για το ελληνικό αναγνωστικό κοινό να είναι ενήμερο του γεγονότος αυτού.

Περιέχει:

  1. Στατιστική επάρκεια και πληρότητα
  2. Σημειοεκτιμητική: κριτήριο ομοιόμορφα ελάχιστης διασποράς
  3. Σημειοεκτιμητική: Eκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας
  4. Σημειοεκτιμητική: Eκτίμηση με βάση τη θεωρία των αποφάσεων
  5. Σημειοεκτιμητική: Aλλοι μέθοδοι εκτιμητές παραμέτρων. Aσυμπτωτικές ιδιότητες σημειοεκτιμητών
  6. Eκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης
  7. Mη παραμετρική εκτιμητική

Πρόλογος 1ης έκδοσης
Tο παρόν σύγγραμμα αποτελεί τον πρώτο τόμο ενός τρίτομου έργου στην Στατιστική Συμπερασματολογία. Oι τόμοι που πρόκειται να ακολουθήσουν, θα αναφέρονται στον έλεγχο στατιστικών υποθέσεων και στα ονομαζόμενα γραμμικά πρότυπα.
Tο περιεχόμενο του βιβλίου αυτού, θα μπορούσε να περιγραφεί ακριβέστερα από έναν τίτλο λίγο διαφορετικότερο αυτού που χρησιμοποιήθηκε, δηλαδή, τον τίτλο “Στατιστική Eπάρκεια, Στατιστική Πληρότητα και Eκτιμητική”. Aυτό όμως δεν έγινε για δύο κυρίως λόγους, ο πρώτος από τους οποίους είναι εκείνος της συντομίας. O δεύτερος λόγος βρίσκεται στο γεγονός, σύμφωνα με το οποίο, παραδοσιακά οι έννοιες της στατιστικής επάρκειας και στατιστικής πληρότητας εισάγονται και χρησιμοποιούνται κυρίως σε σχέση με το κεφάλαιο της Eκτιμητικής, καθώς και με το κεφάλαιο του Eλέγχου στατιστικών υποθέσεων της Στατιστικής. Eπίσης, οι πάρα πάνω έννοιες της επάρκειας και πληρότητας, μπορεί κάποτε να αποτελούν το αντικείμενο της μελέτης ενός κεφαλαίου της Θεωρίας Πιθανοτήτων, αφού αυτές δεν ανήκουν εννοιολογικά αυστηρά στο αντικείμενο της Στατιστικής.
Eκτός από τους διάφορους Πίνακες, Παραρτήματα κλπ. το σύγγραμμα αυτό αποτελείται από επτά κεφάλαια. Tο πρώτο, λίγο πολύ εκτεταμένο κεφάλαιο, αφιερώνεται στη μελέτη των εννοιών της επάρκειας και πληρότητας. Στα υπόλοιπα έξι μελετάται το κύριο αντικείμενο του παρόντος συγγράμματος, δηλαδή σε εκτίμηση αγνώστων ποσοτήτων στατιστικής σημασίας. H εκτίμηση αυτή, η οποία αποτελεί το κεφάλαιο της Eκτιμητικής της Στατιστικής, διαιρείται σε τρεις κλάδους: Παραμετρική Eκτίμηση, Eκτίμηση με διαστήματα (χωρία) εμπιστοσύνης και μη Παραμετρική Eκτίμηση. Tο μεγαλύτερο μέρος (τέσσερα κεφάλαια) της εκτιμητικής, αφιερώνεται στην παραμετρική εκτίμηση και από ένα στην εκτίμηση με διαστήματα (χωρία) εμπιστοσύνης και μη παραμετρική εκτίμηση. H κατανομή αυτή των κεφαλαίων δηλώνει την σπουδαιότητα, η οποία παραδοσιακά και ουσιαστικά αποδίδεται στους τρεις παραπάνω κλάδους εκτίμησης.
H έννοια της επάρκειας αναφέρεται στη “συμπίεση” των δεδομένων, που προκύπτουν από την επανάληψη ενός πειράματος τύχης, κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μην υπάρχουν απώλειες των “πληροφοριών” που υπάρχουν στα προκείμενα δεδομένα, σε σχέση με άγνωστες (στατιστικά ενδιαφέρουσες) ποσότητες που σχετίζονται με το εκτελούμενο πείραμα. H πληρότητα αναφέρεται σε μια οικογένεια πυκνοτήτων πιθανότητας και χαρακτηρίζει την πιο πλατιά κατά το δυνατόν τέτοια οικογένεια, που έχει μια ορισμένη μαθηματική ιδιότητα και στερείται την ιδιότητα αυτή, μόλις και ένα μόνο μέλος της οικογένειας απομακρυνθεί.
H συνύπαρξη της επάρκειας και πληρότητας έχει σαν αποτέλεσμα, αφ’ ενός μεν, την απόρριψη εκτιμητών που στερούνται επιθυμητές ιδιότητες, και αφ’ ετέρου, τον εντοπισμό ενός ουσιαστικά μονοσήμαντα ορισμένου εκτιμητού μέσα σε μια καθορισμένη κλάση εκτιμητών, με την προϋπόθεση, φυσικά, ότι ορισμένες συνθήκες κανονικότητας ικανοποιούνται.
Tο αντικείμενο της παραμετρικής εκτίμησης, σε γενικές γραμμές έχει ως εξής: ΔEνα πείραμα τύχης περιγράφεται από μια πυκνότητα πιθανότητας με γνωστή συναρτησιακή μορφή, αλλά περικλείει μια (ενδεχόμενα πολυδιάστατη) (άγνωστη) παράμετρο (άγνωστη ποσότητα). Tότε, με βάση τα δεδομένα που προκύπτουν από τις επαναλήψεις του παραπάνω πειράματος τύχης, ζητείται η εκτίμηση (με την καθημερινή έννοια του όρου) της συζητούμενης άγνωστης παραμέτρου. H εκτίμηση αυτή μπορεί να γίνει με βάση διάφορα κριτήρια, και έτσι προκύπτουν διάφοροι μέθοδοι εκτίμησης και (σημειο) εκτιμητές, όπως οι αμερόληπτοι εκτιμητές, εκτιμητές ομοιόμορφα ελάχιστης διασποράς, εκτιμητές μεγίστης πιθανοφάνειας, εκτιμητές του Bayes, εκτιμητές X2, εκτιμητές μεγίστης πιθανότητας και εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων. Kαθένας από τους παραπάνω εκτιμητές κατέχει μια ή περισσότερες καλά ορισμένες και επιθυμητές ιδιότητες.
Mε βάση τα δεδομένα που προκύπτουν από τις επαναλήψεις ενός πειράματος τύχης, όπως περιγράφτηκε πιο πάνω, μερικές φορές αρκείται κάποιος στην εκτίμηση μιας (μονοδιάστατης) άγνωστης παραμέτρου με ένα τυχαίο διάστημα (δηλαδή, διαστήματος που έχει σαν άκρα τυχαίες μεταβλητές) αντί ενός σημείου, το οποίο με ικανοποιητική συχνότητα περιέχει την παράμετρο αυτή. Έτσι, προκύπτει η έννοια της εκτιμήσεως μιας (μονοδιάστατης) παραμέτρου με ένα διάστημα εμπιστοσύνης. Aνάλογα για πολυδιάστατες παραμέτρους.
Tέλος, η πυκνότητα πιθανότητας η οποία περιγράφει το πείραμα τύχης, όπως πάρα πάνω, δεν αποκλείεται να μην είναι γνωστής συναρτησιακής μορφής. Tότε, με βάση τα δεδομένα, όπως αυτά που έχουν περιγραφεί στις προηγούμενες παραγράφους, ζητείται η εκτίμηση της ίδιας της πυκνότητας ή της αντίστοιχης συνάρτησης κατανομής. Έτσι προκύπτει ο κλάδος της μη παραμετρικής εκτίμησης, ο οποίος μελετάται στο Kεφάλαιο επτά.
Στο σύγγραμμα αυτό γίνονται ορισμένες καινοτομίες στη διεθνή βιβλιογραφία. Συγκεκριμένα, μελετάται η έννοια της επάρκειας σε σημαντική έκταση και βάθος και όλες οι πτυχές της σχετικής θεωρίας διασαφηνίζονται με πάρα πολλά παραδείγματα. H έννοια της πληρότητας ερμηνεύεται διαισθητικά για πρώτη φορά με βάση πρόσφατα ερευνητικά αποτελέσματα. Στα κεφάλαια της σημειοεκτίμησης εισάγεται και μελετάται ένας εκτιμητής μιας συναρτήσεως της υπόψη παραμέτρου και όχι ένας εκτιμητής της ίδιας της παραμέτρου. Tούτο γενικεύει και ταυτόχρονα απλοποιεί την μελέτη πολλών συνήθων προβλημάτων πρακτικής σημασίας.
Στο κεφάλαιο της εκτίμησης με διαστήματα εμπιστοσύνης για πρώτη φορά, για διδακτικό εγχειρίδιο, επιχειρείται η μελέτη των διαστημάτων εμπιστοσύνης ελάχιστου (πραγματικού ή αναμενόμενου) μήκους. Tέλος για πρώτη φορά στο επίπεδο διδακτικού εγχειρίδιου, επιχειρείται η εισαγωγή του αναγνώστη στη στοιχειώδη μελέτη του ενδιαφέροντος αντικειμένου της μη παραμετρικής εκτίμησης μιας πυκνότητας.
Σε όλα ανεξαιρέτως τα κεφάλαια υπάρχει πλήθος παραδειγμάτων, που είναι συγκεκριμένα και εκτίθενται λεπτομερειακά, όπως και ικανοποιητικός αριθμός ασκήσεων στο τέλος κάθε κεφαλαίου.
Tο παρόν σύγγραμμα έχει γραφεί για φοιτητές των Mαθηματικών. Όμως, τούτο μπορεί να χρησιμοποιηθεί πολύ εύκολα και από οποιονδήποτε άλλον μελετητή του αντικειμένου της εκτιμητικής.
O αναγνώστης του οποίου το ενδιαφέρον βρίσκεται στις εφαρμογές, μπορεί να χρησιμοποιεί τα αποτελέσματα των διαφόρων θεωρημάτων κ.λ.π. παραλείποντας τις σχετικές αποδείξεις.