Γραμμική Άλγεβρα Ι

Η Γραμμική Αλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου, κλπ. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η Γραμμική Αλγεβρα καλείται να βοηθήσει πολλούς κλάδους επιστημών, ώστε να γίνουν περισσότερο κατανοητοί, και ευκολότερα διαχειρίσιμοι.
Οι ανάγκες, όμως, της κάθε επιστήμης δεν είναι ίδιες. Ένας φοιτητής του Πολυτεχνείου ενδιαφέρεται μόνο για το αποτέλεσμα, και τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να το πετύχει. Δεν ενδιαφέρεται σχεδόν ποτέ για το λόγο, για τον οποίο χρησιμοποιεί αυτή τη μεθοδολογία, και όχι κάποια άλλη. Δεν συμβαίνει, όμως, το ίδιο για τους φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος, οι οποίοι, χωρίς να παραβλέπουν το υπολογιστικό μέρος των προβλημάτων, πρέπει να γνωρίζουν τι κρύβεται πίσω από τις διάφορες μεθοδολογίες.
Η Γραμμική Αλγεβρα, που αφορά ένα τμήμα Μαθηματικών, πρέπει να αποτελεί ταυτόχρονα και μια εισαγωγή σ’ αυτό που ονομάζουμε μαθηματική αφαίρεση, με στόχο να βοηθήσει τους φοιτητές να εξοικειωθούν με τη μαθηματική σκέψη. Ο στόχος αυτός επιτυγχάνεται με τη λογική επιχειρηματολογία, και τη θεωρητική ανάπτυξη απλών εννοιών, προσιτών στους περισσότερους φοιτητές.
Το βιβλίο αυτό περιέχει τη διδακτέα ύλη που αντιστοιχεί στο υποχρεωτικό εξαμηνιαίο μάθημα Γραμμική Αλγεβρα Ι, που διδάσκεται στο Τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Στηρίζεται στις γνώσεις των μαθηματικών του Λυκείου, ενώ οι νέες έννοιες αναπτύσσονται σταδιακά με πολλά, αναλυτικά, και κατανοητά παραδείγματα.
Το βιβλίο «Γραμμική Αλγεβρα Ι» χωρίζεται σε έξι κεφάλαια. Το πρώτο περιλαμβάνει μια σύντομη εισαγωγή σε γνωστές και άλλες έννοιες, που είναι απαραίτητες για τη θεμελίωση του διανυσματικού χώρου. Από το δεύτερο κεφάλαιο και πέρα αρχίζει ουσιαστικά η μελέτη των διανυσματικών χώρων, που είναι το κύριο αντικείμενο της Γραμμικής Αλγεβρας. Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζεται η έννοια του διανυσματικού χώρου, και αναπτύσσονται τα βασικά εργαλεία για τη μελέτη τους. Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της γραμμικής συνάρτησης, η οποία βοηθά σημαντικά στη μελέτη και τη διαχείριση των διανυσματικών χώρων. Στη συνέχεια οι γραμμικές συναρτήσεις συσχετίζονται με τους πίνακες, με στόχο την ευκολότερη διαχείριση όχι μόνον των συναρτήσεων, αλλά και των διανυσματικών χώρων. Τέλος, εξετάζεται το θέμα της αλλαγής βάσης, και οι διάφορες μορφές πινάκων.
H θεωρία εμπλουτίζεται με πολλά παραδείγματα, τα οποία αποσκοπούν στην καλύτερη κατανόηση των εννοιών της Γραμμικής Αλγεβρας. Κάθε παράγραφος συνοδεύεται από ασκήσεις, πολλές από τις οποίες είναι απλή εφαρμογή της θεωρίας, ενώ άλλες την επεκτείνουν.
Στο τέλος του βιβλίου υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων, οι οποίες στηρίζονται σε όλα τα θέματα που αναπτύσσονται στη θεωρία. Για κάθε μια απ’ αυτές δίνεται αναλυτική υπόδειξη.

Περιεχόμενα

1 Εισαγωγικές έννοιες

1. Συμβολισμοί και συναρτήσεις
2. Ασκήσεις
3. Νόμοι σύνθεσης ή πράξεις
4. Ασκήσεις
5. Ομάδες, δακτύλιοι, σώματα
6. Ασκήσεις
7. Πολυώνυμα
8. Ασκήσεις

2 Διανυσματικοί χώροι

1. Ορισμοί και απλές ιδιότητες
2. Ασκήσεις
3. Διανυσματικοί υποχώροι
4. Ασκήσεις
5. Διανυσματικοί χώροι παραγόμενοι από σύνολα
6. Ασκήσεις

3 Γραμμικές συναρτήσεις

1. Οι πρώτοι ορισμοί
2. Ασκήσεις
3. Γραμμικές συναρτήσεις και γραμμική εξάρτηση
4. Ασκήσεις

4 Γραμμικές συναρτήσεις και πίνακες

1. Γενικά περί πινάκων
2. Ασκήσεις
3. Στοιχειώδεις πίνακες
4. Ασκήσεις
5. Πίνακας γραμμικής συνάρτησης
6. Ασκήσεις

5 Ορίζουσες

1. Πολυγραμμικές συναρτήσεις και ορίζουσα
2. Αντιστρεψιμότητα πίνακα
3. Ασκήσεις

6 Αλλαγή βάσης

1. Ο πίνακας μετάβασης
2. Ειδικές μορφές πινάκων
3. Ασκήσεις

7 Γενικές Ασκήσεις

Βιβλιογραφία
Ευρετήριο