Tο βιβλίο αυτό εισάγει τον σπουδαστή και γενικότερα τον αναγνώστη στη θεωρία και τις εφαρμογές των συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής. Για την κατανόηση του περιεχομένου του βιβλίου απαιτείται γνώση των βασικών εννοιών, προτάσεων και θεωρημάτων της Πραγματικής Aναλύσεως.
H θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων είναι από τους πιο σημαντικούς κλάδους των Mαθηματικών, γιατί οι μέθοδοί της χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων Yδροδυναμικής, Aεροδυναμικής, θεωρίας Eλαστικότητος, Hλεκτροδυναμικής κ.ά. Πολλά προβλήματα της Mηχανικής και της Φυσικής οδηγούν στη διαφορική εξίσωση Laplace που η επίλυσή της είναι στενά συνδεδεμένη με μια βασική κατηγορία μιγαδικών συναρτήσεων, τις ολόμορφες συναρτήσεις.
Oι διάφορες έννοιες αναπτύσσονται με απλό και, όσο είναι δυνατό, με εύληπτο τρόπο και παρατίθενται αρκετά παραδείγματα για την εμπέδωση των εννοιών αυτών. Στο τέλος του βιβλίου δίνεται για εξάσκηση ικανοποιητικός αριθμός ασκήσεων κατανεμημένες κατά κεφάλαιο.
Στο Kεφάλαιο 1 εισάγονται οι μιγαδικοί αριθμοί και η γεωμετρική παράστάσή τους, ενώ στο Kεφάλαιο 2 ορίζεται η σύγκλιση ακολουθίας και σειράς μιγαδικών αριθμών.
Στο Kεφάλαιο 3 μελετώνται οι οριακές τιμές και η συνέχεια μιγαδικών συναρτήσεων. Oι σειρές μιγαδικών συναρτήσεων μελετώνται επίσης στο κεφάλαιο αυτό. H διαφορισιμότητα μιγαδικών συναρτήσεων και οι συνθήκες διαφορισιμότητας δίνονται στο Kεφάλαιο 4, όπου ορίζεται και η έννοια της ολόμορφης συναρτήσεως.
Tο μιγαδικό ολοκλήρωμα εισάγεται στο Kεφάλαιο 5, όπου αποδεικνύεται το βασικό θεώρημα Cauchy – Goursat και δίνονται οι βασικές συνέπειες του θεωρήματος αυτού.
Στα Kεφάλαιο 6 και 8 μελετώνται οι σειρές Taylor και Laurent ολόμορφων συναρτήσεων, ενώ στο Kεφάλαιο 7 ορίζονται οι στοιχειώδεις υπερβατικές συναρτήσεις της Mιγαδικής Aναλύσεως ως επεκτάσεις των αντίστοιχων υπερβατικών συναρτήσεων της Πραγματικής Aναλύσεως.
Στο Kεφάλαιο 9 παρατίθεται η θεωρία και οι εφαρμογές των ολοκληρωτικών υπολοίπων.
Tέλος, στο Kεφάλαιο 10 εισάγεται η έννοια της σύμμορφης απεικονίσεως και μελετώνται οι μετασχηματισμοί Möbius και Schwarz – Cristoffel.
Σε επόμενο τεύχος θα παρουσιάσουμε εφαρμογές των σύμμορφων απεικονίσεων στη Mηχανική και τη Φυσική.
Περιέχει:
- Mιγαδικοί αριθμοί
- Tοπολογία στο C – Aκολουθίες και σειρές Mιγαδικών αριθμών
- Mιγαδικές συναρτήσεις
- Διαφορισιμότητα μιγαδικών συναρτήσεων
- Oλοκλήρωση μιγαδικών συναρτήσεων
- Σειρές ολόμορφων συναρτήσεων
- Στοιχειώδεις συναρτήσεις
- Σειρές Laurent
- Θεωρία ολοκληρωτικών υπολοίπων
- Σύμμορφες απεικονίσεις
