Ανάλυση, Τεύχος Β

Στο τεύχος αυτό, ΑΝΑΛΥΣΗ Β’, που αποτελεί συνέχεια του τεύχους ΑΝΑΛΥΣΗ Α’, γίνεται εντονότερα κατανοητό ότι η υψηλή Τεχνολογία είναι μαθηματική Τεχνολογία και ως εκ τούτου δεν μπορεί να υπάρξει σημαντική Τεχνολογική εξέλιξη χωρίς τη βαθύτερη γνώση των Μαθηματικών. Το τεύχος ΑΝΑΛΥΣΗ Β’ περιλαμβάνει τα Κεφ. 13-24 (η αρίθμηση των κεφαλαίων είναι συνέχεια εκείνης του τεύχους Α’) και περιλαμβάνει την ύλη που διδάσκεται στο 2ο εξάμηνο του Τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου. Σε όλο το βιβλίο όταν χρησιμοποιούμε σχέσεις, προτάσεις και έννοιες που αναφέρονται στο τεύχος ΑΝΑΛΥΣΗ Α’ δεν τις σχολιάζουμε, γιατί θεωρούμε ότι είναι γνωστές. Παραθέτουμε πολλά λυμένα παραδείγματα, που η γνώση τους είναι απαραίτητη για την κατανόηση της ύλης. Στο τέλος ορισμένων κεφαλαίων υπάρχουν παραρτήματα (με σκιασμένο περιθώριο), όπου παρατίθενται αποδείξεις και σχόλια, που θεωρούμε ότι δεν είναι απαραίτητα σε πρώτη ανάγνωση και ενδιαφέρουν εκείνους που θα ήθελαν να εμβαθύνουν στα περιεχόμενα του αντίστοιχου κεφαλαίου.
Στα Κεφ. 13 και 14 γίνεται η ανάπτυξη των ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων καθώς και των δυναμοσειρών. Τα γενικευμένα ολοκληρώματα σε μη φραγμένα διαστήματα καθώς και εκείνα των μη φραγμένων συναρτήσεων παρατίθενται στο Κεφ. 15, όπου ορίζεται και το εμβαδόν μη φραγμένου χωρίου. Η έννοια του n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου Rⁿ, η τοπολογία του και η σύγκλιση των ακολουθιών του μελετάται στο Κεφ. 16 κατά τέτοιο τρόπο, ώστε ο αναγνώστης να “αναγνωρίζει” τη φυσική επέκταση των αντίστοιχων εννοιών του συνόλου των πραγματικών αριθμών R. Τα συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο και στο χώρο αναλύονται στο Κεφ. 17.
Στο Κεφ. 18 γίνεται η μελέτη των πραγματικών και διανυσματικών συναρτήσεων (όριο και συνέχεια). Για να αποφύγουμε περίπλοκες εκφράσεις και να διατρέξουμε τον κίνδυνο να μη γίνουν κατανοητοί οι μαθηματικοί συλλογισμοί περιορίσαμε τη μελέτη στους χώρους R, R² και R³, ενώ, όταν είναι απαραίτητο, παρατίθενται οι προτάσεις και οι ιδιότητες στη γενική περίπτωση.
Η διαφορισιμότητα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών μελετάται στο Κεφ. 19 με παρουσίαση των προτάσεων κυρίως για συναρτήσεις δύο ή τριών μεταβλητών. Στο παράρτημα του κεφαλαίου αυτού παρατίθενται οι γενικές περιπτώσεις. Στο Κεφ. 20 αναλύονται οι έννοιες της καμπύλης και της επιφάνειας, όπως αυτές ορίζονται στην Ανάλυση, και ορίζεται η εφαπτομένη ευθεία και το εφαπτόμενο επίπεδο.
Οι εφαρμογές του Διαφορικού Λογισμού (θεώρημα μέσης τιμής, τύπος Taylor, ακρότατα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών) παρατίθενται στο Κεφ. 21. H μελέτη συναρτήσεων που ορίζονται πεπλεγμένα καθώς και το θεώρημα της αντιστροφής ενός μετασχηματισμού και τα ακρότατα συναρτήσεως υπό συνθήκη παρατίθενται στα Κεφ. 22 και 23.
Τέλος στοιχεία Διαφορικής Γεωμετρίας παρατίθενται στο Κεφ. 24. Τα στοιχεία αυτά είναι απαραίτητα στην κατανόηση των πολλαπλών, των επικαμπύλιων και επιφανειακών ολοκληρωμάτων (Κεφ. 25, 26, 27 και 28) καθώς και στη μελέτη των διανυσματικών πεδίων (Κεφ. 29).

Περιέχει τα κεφάλαια:
13. Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων
14. Δυναμοσειρές
15. Γενικευμένα ολοκληρώματα
16. Η έννοια του n-διάστατου ευκλείδειου χώρου Rⁿ
17. Συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο και στο χώρο
18. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
19. Διαφορισιμότητα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών
20. Καμπύλες και επιφάνειες
21. Θεώρημα μέσης τιμής – Τύπος Taylor – Ακρότατα
22. Συναρτήσεις ορισμένες πεπλεγμένα – Θεώρημα αντιστροφής
23. Ακρότατα υπό συνθήκη πραγματικών συναρτήσεων
24. Στοιχεία διαφορικής γεωμετρίας