Ελαστοστατική, Tόμος Πρώτος

Το χάσμα που χώριζε παλαιότερα τα ωραία μαθηματικά επιτεύγματα της θεωρίας ελαστικότητας από την ανελέητη πραγματικότητα, που υποχρέωνε τον στατικό να αντιμετωπίζει, έστω και εκ των ενόντων, με απλουστευτικές λύσεις τα προβλήματα των κατασκευών, έπαυσε να υπάρχει. Ο ηλεκτρονικός υπολογιστής από τη μια και η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων από την άλλη παρέχουν σήμερα τη δυνατότητα μιας εξαντλητικής αξιοποιήσεως των θεωρητικών κατακτήσεων. Η εξέλιξη αυτή συνεπάγεται βέβαια μια σημαντικά αυξημένη «μαθηματικοποίηση» της στατικής. Πράγματι, οι υπολογισμοί των πολυσύνθετων κατασκευών, που αναφέρονται σε θέματα της γραμμικής θεωρίας ελαστικότητας ή της ευστάθειας ή της πλαστικότητας ή της δυναμικής συμπεριφοράς, απαιτούν από τον υπεύθυνο στατικό μια βαθύτερη γνώση των αντίστοιχων θεωρητικών προβλημάτων. Η απαίτηση αυτή και παράλληλα η ανάγκη μιας αυτοδύναμης υπάρξεώς του υποχρεώνουν τον στατικό –και ίσως τον παρασύρουν– σε θεωρητικές αυτενέργειες, που αρχίζουν τουλάχιστον με την ανάπτυξη μιας μεθοδολογίας προσανατολισμένης στις αντιλήψεις του. Το ίδιο άλλωστε γινόταν και στο παρελθόν, όπως αποδεικνύεται με την πλήρη αυτοτέλεια που είχε πάνω από εκατό χρόνια η στατική σε σχέση με τη μηχανική.
Με τις πιο πάνω σκέψεις και με την πεποίθηση για την ανάγκη της υπάρξεως ενός εισαγωγικού θεωρητικού συγγράμματος, γραμμένου με τις αντιλήψεις ενός στατικού, τόλμησα να υποδυθώ στην προσπάθεια της συγγραφής αυτού του βιβλίου. Σαν κύριο στόχο έθεσα την εξυπηρέτηση των διδακτικών αναγκών εκείνου του τεχνικού, που σαν φοιτητής ή νέος ερευνητής, επιθυμεί να επεκτείνει τις βασικές του γνώσεις σε πιο απαιτητικές περιοχές της θεωρίας και του υπολογισμού των μη γραμμικών φορέων.
Το πρώτο που έπρεπε να αποφασιστεί ήταν το τι μαθηματικές γνώσεις θα προϋπέθετα, ώστε ούτε να δυσχεραίνεται η μελέτη του βιβλίου ούτε όμως να υποβιβάζεται η στάθμη του. Τελικά αρκέστηκα στις βασικές γνώσεις από τα ανώτερα μαθηματικά που διδάσκονται στα Πολυτεχνεία αλλά και θεώρησα σκόπιμο να προτάξω το κεφάλαιο με τον τίτλο «το μαθηματικό υπόβαθρο», στο οποίο αναπτύσσονται, απλά και χωρίς αξιώσεις μαθηματικής ακριβολογίας, τα πιο βασικά από τους τανυστές σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Αργότερα, γίνεται η επέκταση και σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, σύντομα μεν αλλά σε έκταση αρκετή για την κατανόηση μιας σύγχρονης θεωρίας των κελυφών. Όπως απαιτείται για ένα τεχνικό σύγγραμμα, οι εξισώσεις είναι γραμμένες κυρίως με τον κοινό αναλυτικό τρόπο αλλά και πολύ συχνά με το μητρωικό τρόπο, όπως επίσης και με τον τανυστικό. Ο τελευταίος ταιριάζει περισσότερο για την εύρεση των διαφορικών εξισώσεων, ενώ ο μητρωϊκός για τη διατύπωση των εργικών συνθηκών. Έτσι παρέχεται και η ευχέρεια της μελέτης συγγραμμάτων ανωτέρας βαθμίδας, που χρησιμοποιούν άλλα τον ένα και άλλα τον άλλο τρόπο συμβολισμού.
Λόγω του διδακτικού χαρακτήρα του βιβλίου, η αναφορά με βιβλιογραφικές υποσημειώσεις σε μονογραφίες γίνεται κυρίως εκεί όπου η ύλη προωθείται σε σύγχρονες ερευνητικές περιοχές. Η αναφορά αυτή περιορίζεται στα πιο απαραίτητα, τις αυξημένες δε απαιτήσεις μπορούν να καλύψουν τα βασικά ξένα συγγράμματα που δίνονται στο τέλος κάθε μέρους του βιβλίου. Από την άλλη πλευρά η έλλειψη χώρου δεν επέτρεψε την παράθεση λεπτομερώς επεξεργασμένων παραδειγμάτων. Το κενό αυτό συμπληρώνεται κάπως με τις ολιγάριθμες ασκήσεις που υπάρχουν στο τέλος κάθε άρθρου σχεδόν. Πάντως προορισμός τους είναι κυρίως η προαγωγή μιας ενεργητικής μελέτης του συγγράμματος.
Πρακτικοί λόγοι επέβαλαν την εκτύπωση του βιβλίου σε δύο τόμους, ο καθένας από τους οποίους περιλαμβάνει δύο μέρη, διαιρημένα πάλι σε τέσσερα κεφάλαια το καθένα τους.
Στο πρώτο κεφάλαιο εξετάζονται οι βασικές ιδιότητες των τανυστών και ιδιαίτερα τα προβλήματα των κύριων αξόνων. Τα τρία επόμενα κεφάλαια είναι αφιερωμένα στις γενικές ιδιότητες αντίστοιχα της παραμορφώσεως, της εντάσεως και του έργου του σώματος, ανεξάρτητα από το πρόβλημα του προσδιορισμού τους. Εδώ καταβλήθηκε μια προσπάθεια για μια άμεμπτη ανάλυση εννοιών και μια εξαντλητική διερεύνηση του θέματος. Γι’ αυτό παρόλο που το αντικείμενο είναι η γραμμική θεωρία, η μελέτη ξεκινά και στα τρία αυτά κεφάλαια κάθε φορά πολύ πιο γενικά, ώστε να αποκαλυφθούν τελείως οι εξιδανικεύσεις της γραμμικής θεωρίας.
Τα τέσσερα επόμενα κεφάλαια, δηλαδή το δεύτερο μέρος αφορά τον προσδιορισμό της καταστάσεως του τριδιάστατου ελαστικού σώματος. Συγκεκριμένα, στο πέμπτο κεφάλαιο εξετάζεται γενικά η συμπεριφορά του ανισότροπου σώματος και διατυπώνονται οι διάφορες προτάσεις που την διέπουν ανεξάρτητα από το νόμο ελαστικότητας· αυτός αναλύεται στο τέλος του κεφαλαίου. Το έκτο κεφάλαιο περιέχει τις διαφορικές εξισώσεις της κλασικής θεωρίας ελαστικότητας, πρώτα του ισότροπου και στο τέλος του ανισότροπου σώματος. Ειδικά οι σημειακές φορτίσεις εξετάζονται στο έβδομο κεφάλαιο, όπου και γίνεται η σύνδεση με τα προβλήματα των συναρτήσεων επιρροής των δοκών. Κατά παρέκκλιση από τον τίτλο του συγγράμματος, το όγδοο κεφάλαιο έχει αφιερωθεί σ’ αυτά που συμβαίνουν μετά την υπέρβαση του ορίου ελαστικότητας. Αυτό κρίθηκε σκόπιμο, αφενός για να χαραχθούν σαφώς τα σύνορα της περιοχής που ισχύει η θεωρία ελαστικότητας αφετέρου γιατί οι σχετικές γνώσεις που απαιτούνται για τον πολιτικό μηχανικό μποεούν να αποκτηθούν σ’ αυτό το σημείο με τον ελάχιστο κόπο. Σαν κεφάλαιο, ενημερωτικού μάλλον χαρακτήρα, ασφαλώς θα παρουσιάζει ελλείψεις, αυτές όμως μπορούν να καλυφθούν με τη μελέτη των συγγραμμάτων της ειδικής βιβλιογραφίας που το συνοδεύει.
Στο τρίτο μέρος, με το οποίο αρχίζει ο δεύτερος τόμος, εξετάζονται οι επιφανειακοί φορείς από γενικής σκοπιάς, δηλαδή με στόχο την εύρεση και τον έλεγχο των γενικών εξισώσεων που διέπουν τα προβλήματά τους. Εδώ η πρακτική σκοπιμότητα επιβάλλει τη χρησιμοποίηση διαφορετικών μαθηματικών μέσων στα διάφορα κεφάλαια. Έτσι οι δίσκοι και οι πλάκες, στο ένατο και δέκατο κεφάλαιο, αντιμετωπίζονται με τα πιο απλά μέσα και οι εξισώσεις τους δίνονται γραμμένες αναλυτικά ή μητρωικά, σε καρτεσιανές ή και σε πολικές συντεταγμένες. Μια γενική όμως θεωρία των κελυφών δεν μπορεί σήμερα να δοθεί αλλιώς παρά με τα μέσα της τανυστικής αναλύσεως. Οι αυξημένες προσπάθειες που απαιτεί αυτή –νομίζω δε ότι αυτές δεν είναι υπερβολικές– εξαργυρώνονται αργότερα πλουσιοπάροχα.
Με γνώμονα την προηγούμενη σκέψη, η ύλη για τα κελύφη διαρθρώθηκε σε δύο κεφάλαια, από τα οποία το ενδέκατο περιλαμβάνει στην αρχή τα πιο απαραίτητα από την τανυστική ανάλυση. Στη συνέχεια εξετάζονται κυρίως τα προβλήματα της παραμορφώσεως και της εντάσεως μιας υλικής επιφάνειας και η συσχέτιση των δύο αυτών φαινομένων γίνεται προσωρινά μόνο για την κατάσταση μεμβράνης. Αυτή μελετάται κάπως λεπτομερώς, κυρίως όμως για διδακτικούς λόγους. Στο επόμενο, δηλαδή στο δωδέκατο κεφάλαιο, μελετάται η κάμψη των κελυφών, με αφετηρία μια πολύ γενική θεώρηση του προβλήματος και με κατάληξη τις κλασικές διαφορικές εξισώσεις των κυλινδρικών και των εκ περιστροφής κελυφών. Πρόκειται για μια προσπάθεια προωθήσεως στα επιτεύγματα της τελευταίας εικοσαετίας στον τομέα αυτόν, όπως άλλωστε φαίνεται και από τη βιβλιογραφία που δίνεται.
Το τέταρτο μέρος, με το γενικό τίτλο «μέθοδοι επιλύσεως» ουσιαστικά περιορίζεται μόνο στις δύο πιο βασικές για τον τεχνικό, δηλαδή στην αναλυτική με τη βοήθεια των σειρών Fourier και στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Η πρώτη, που αναπτύσσεται στο δεκατοτρίτο κεφάλαιο, εφαρμόζεται εκλεκτικά για ορισμένα κλασικά προβλήματα του δίσκου και της πλάκας. Με τα λίγα όμως αυτά μπορεί να επιτευχθεί η εξοικείωση του τεχνικού με την υπόψη μέθοδο, σε μέτρο που επαρκεί σήμερα για τις ανάγκες του.
Το βάρος της προσπάθειας συγκεντρώθηκε στην άλλη μέθοδο, με στόχο όμως περισσότερο μια συστηματική και κατά το δυνατό συνοπτική θεωρητική της ανάπτυξη, ώστε φυσιολογικά να εντάσσεται στη γενική θεωρία ελαστικότητας, και ολιγότερο μια ανάλυση της τεχνικής των εφαρμογών της. Για το λόγο αυτόν αφιερώθηκε το δεκατοτέταρτο κεφάλαιο στο εντελώς θεωρητικό θέμα της στασιμοποιήσεως των συναρτησιακών, ώστε να δημιουργηθούν ευρύτερες βάσεις αναπτύξεως όλων των παραλλαγών της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Η ανάπτυξη αυτής γίνεται στο δεκατοπέμπτο κεφάλαιο με την πιο γενική διατύπωση, σε συσχετισμό πρώτα με την αρχή του ελαχίστου δυναμικού. Στο τελευταίο κεφάλαιο, αφού γίνει η εξιδίκευσή της για τους δίσκους, τις πλάκες, τα σώματα εκ περιστροφής και για τα κελύφη, η υπόψη μέθοδος συνδυάζεται και με την αρχή του συμπληρωματικού δυναμικού. Κατόπιν παρουσιάζεται αυτή σύντομα ως υβριδιακή και ως μικτή μέθοδος.

Περιεχόμενα

Πρώτο μέρος: Παραμόρφωση-Ένταση-Έργο

Κεφάλαιο 1: Το μαθηματικό υπόβαθρο

1. Το αντικείμενο της έρευνας
2. Τα φυσικά μεγέθη
3. Συμβολισμοί των μεγεθών ανωτέρας τάξεως και πράξεις με αυτά
4. Ο ορισμός του τανυστή
5. Οι πράξεις με τους τανυστές
6. Η συμμετρία στους τανυστές
7. Ο στροφέας
8. Ο συμμετρικός τανυστής
9. Aλλες ιδιότητες του συμμετρικού τανυστή
10. Οι κύκλοι του MOHR
11. H αναλλοίωτη διαφόριση

Κεφάλαιο 2: Η παραμόρφωση

1. Η μεγάλη παραμόρφωση
2. Η μικρή παραμόρφωση
3. Η απειροστή παραμόρφωση
4. Η επίπεδη απειροστή παραμόρφωση
5. Η παραμόρφωση σε όλο το σώμα

Κεφάλαιο 3: Η ένταση

1. Οι τάσεις του σώματος
2. Ο τανυστής εντάσεως
3. Η επίπεδη ένταση
4. Η ένταση σε όλο το σώμα
5. Η ένταση και η παραμόρφωση σε κυλινδρικές συντεταγμένες
6. Η μητρωική διατύπωση των συνθηκων

Κεφάλαιο 4: Οι γενικές εργικές προτάσεις

1. Το έργο δυνάμεων
2. Η αρχή των δυνατών έργων
3. Η διατύπωση του προβλήματος του φορέα
4. Το έργο των δυνάμεων του ελαστικού σώματος
5. Η αρχή των γεωμετρικά επιτρεπτών καταστάσεων
6. Η αρχή των στατικά επιτρεπτών καταστάσεων

Δεύτερο μέρος: Το ελαστικό σώμα

Κεφάλαιο 5: Η συμπεριφορά του ελαστικού φορέα

1. Ο γραμμικός νόμος ελαστικότητας
2. Οι προτάσεις Clapeyron και Betti
3. Oι μοναχικές μετακινήσεις και δυνάμεις
4. Οι καταστάσεις των κύριων συστημάτων του φορέα
5. Τρεις βασικές προτάσεις
6. Οι νόμοι ελαστικότητας των ανισότροπων υλικών

Κεφάλαιο 6: Ο ισότροπος τριδιάστατος φορέας

1. Ο νόμος της ελαστικότητας του ισότροπου υλικού
2. Το ειδικό έργο παραμορφώσεως του ισότροπου υλικού
3. Οι διαφορικές εξισώσεις της θεωρίας ελαστικότητας
4. Η διερεύνηση του προβλήματος
5. Οι μητρωικές εξισώσεις ανισότροπου σώματος

Κεφάλαιο 7: Η σημειακή φόρτιση

1. Η εκ περιστροφής συμμετρική ένταση
2. Οι τυπικές ανωμαλίες
3. Οι τροποποιημένες ανωμαλίες
4. Οι συναρτήσεις επιρροής της δοκού
5. Οι συναρτήσεις επιρροής του σώματος

Κεφάλαιο 8: Η μεταελαστική συμπεριφορά

1. Οι βασικές ιδιότητες των υλικών
2. Οι παλαιότερες θεωρίες
3. Η συνθήκη διαρροής του ελαστοπλαστικού υλικού
4. Ο νόμος πλαστικότητας του ελαστοπλαστικού υλικού
5. Ο νόμος κρατύνσεως