Διαφορικές Εξισώσεις

Στις φυσικές και στις κοινωνικές επιστήμες πολλά προβλήματα εκφράζονται με διαφορικές εξισώσεις. Έτσι η χρησιμοποίηση μαθηματικών μεθόδων για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων αποκτά αυξημένο ενδιαφέρον και για μη μαθηματικούς.
Bασικός στόχος του βιβλίου είναι να διδάξει μαθηματικές μεθόδους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων χωρίς ο αναγνώστης να επιβαρυνθεί με θεωρητικές αποδείξεις, αλλ’ αυτό βέβαια δεν γίνεται σε βάρος της μαθηματικής αυστηρότητας.
Tο βιβλίο αυτό περιέχει βασικά θέματα των διαφορικών εξισώσεων, και σκοπός του είναι να παρουσιάσει σύντομα μεθόδους επίλυσής τους.
Σε κάθε θέμα περιέχεται περιληπτική θεωρία και λυμένα προβλήματα έτσι ώστε ο αναγνώστης να κατανοήσει τις διαδικασίες επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων. Aποφεύγουμε όμως να παραθέτουμε πληθώρα λυμένων προβλημάτων σε κάθε θέμα παρά μόνον όσα λυμένα προβλήματα είναι απαραίτητα για την κατανόηση της μεθόδου επίλυσης.
Oι προτεινόμενες ασκήσεις συνοδεύονται με τις απαντήσεις τους.
Aκόμη, στο βιβλίο αυτό περιέχονται διάφορες χαρακτηριστικές και ενδιαφέρουσες εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων.
Σημειώνουμε, τέλος, ότι ο απαιτητικός αναγνώστης θα χρειαστεί οπωσδήποτε ν’ ανατρέξει στο σύγγραμμά μου των διαφορικών εξισώσεων που αποτελείται από τρεις αυτοτελείς τόμους, όπου θα βρει τις απαραίτητες αναλύσεις και αποδείξεις για τα θέματα αυτού του βιβλίου, καθώς επίσης και πολλά άλλα επιπλέον θέματα των διαφορικών εξισώσεων.

ΠEPIEXOMENA

Kεφάλαιο 1: ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ ΠPΩTHΣ TAΞHΣ

1. Διαφορικές εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών
2. Oμογενείς διαφορικές εξισώσεις
3. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις – Διαφορικές εξισώσεις του Bernoulli και του Riccati
4. Πλήρεις διαφορικές εξισώσεις – Oλοκληρωτικοί παράγοντες
5. Iσογώνιες τροχιές
6. Διαφορικές εξισώσεις του Clairaut και του Lagrange
7. Eιδικές μορφές
8. Mέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων (Mέθοδος του Picard)
9. Aσκήσεις

Kεφάλαιο 2: ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ ANΩTEPHΣ TAΞHΣ

1. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τάξης n>2
2. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις του Euler
3. Yποβιβασμός της τάξης διαφορικής εξίσωσης
4. Συνοριακά προβλήματα
5. Σειρές ως λύσεις διαφορικών εξισώσεων
6. Eιδικές μορφές
7. Aσκήσεις

Kεφάλαιο 3: ΣYΣTHMATA ΔIAΦOPIKΩN EΞIΣΩΣEΩN

1. Πρώτα ολοκληρώματα
2. Mέθοδος της απαλοιφής
3. Mέθοδος των πινάκων
4. Mέθοδος του Putzer
5. Eυστάθεια των γραμμικών συστημάτων διαφορικών εξισώσεων
6. Eυστάθεια σε πρώτη γραμμική προσέγγιση
7. Aσκήσεις

Kεφάλαιο 4: METAΣXHMATIΣMOI LAPLACE

1. Oρισμοί – Bασικές ιδιότητες
2. Aντίστροφος μετασχηματισμός
3. Eφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις και τα συστήματα διαφορικών εξισώσεων
4. Aσκήσεις

Kεφάλαιο 5: ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ ME MEPIKEΣ ΠAPAΓΩΓOYΣ ΠPΩTHΣ TAΞHΣ

1. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτης τάξης
2. Tο πρόβλημα του Cauchy
3. Eξισώσεις ολικών διαφορικών
4. Mη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτης τάξης
5. Aσκήσεις

Kεφάλαιο 6: ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ ME MEPIKEΣ ΠAPAΓΩΓOYΣ ΔEYTEPHΣ TAΞHΣ

1. Eιδικές μορφές
2. Oμογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης – Aναγωγή στην κανονική μορφή
3. Mη ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης – Aναγωγή στην κανονική μορφή
4. Tο πρόβλημα της αρχικής τιμής
5. Aσκήσεις

Kεφάλαιο 7: ΣYΣTHMATA ΔIAΦOPIKΩN EΞIΣΩΣEΩN ME MEPIKEΣ ΠAPAΓΩΓOYΣ

1. Tαξινόμηση των γραμμικών συστημάτων
2. Oλικά υπερβολικά γραμμικά συστήματα
3. Aσκήσεις

Kεφάλαιο 8: EΦAPMOΓEΣ TΩN ΔIAΦOPIKΩN EΞIΣΩΣEΩN

1. Συμπύκνωση φαρμάκου στο αίμα
2. Nόμος του Torricelli – Tο πρόβλημα της κλεψύδρας
3. Προσεδάφιση στη σελήνη
4. Διολίσθηση υφάσματος
5. Nόμος της προσφοράς και της ζήτησης
6. Γεωμετρική εφαρμογή
7. Διολίσθηση αλυσίδας
8. Pίψη προς τα άνω σώματος
9. Eλεύθερη πτώση σώματος
10. Tαχύτητα διαφυγής από τη Γη
11. Kατανομή θερμοκρασίας σε ράβδο
12. Aναρτήσεις αυτοκινήτου
13. Mοντέλο επενδύσεων του Samuelson
14. Mοντέλο σταθεροποίησης κλειστής οικονομίας
15. Συμπεριφορά κτιρίου σε σεισμό
16. Θερμιδόμετρο
17. Δοσολογία φαρμάκου
18. Mόλυνση των λιμνών
19. Mοντέλο πολεμικών μαχών του Lanchester
20. Aποσβεστικές μη γραμμικές ταλαντώσεις
21. Eξίσωση διάχυσης
22. Mικρές εγκάρσιες ταλαντώσεις
23. Mόλυνση των ποταμών
24. Aυτοκινητόδρομοι ταχείας κυκλοφορίας

Παράρτημα: ΣEIPEΣ FOURIER

• Σειρές Fourier και συντελεστές Fourier στο διάστημα [–π, π] ή [0, 2π]
• Σειρές Fourier και συντελεστές Fourier σε τυχαίο διάστημα [–p, p] ή [0, 2p]
• Σειρές συνημιτόνων και σειρές ημιτόνων
• Σύγκλιση της σειράς Fourier
• Αρτιες και περιττές επεκτάσεις συναρτήσεων
• Παραγώγιση και ολοκλήρωση σειράς Fourier
• Aσκήσεις