Ανώτερα Μαθηματικά, Τόμος Τρίτος

Η σειρά με τον τίτλο «Ανώτερα Μαθηματικά», που αποτελείται από τρεις τόμους, γράφηκε για να προσφέρει σε Μαθηματικούς και μη Μαθηματικούς, μια αξιόπιστη και σχετικά συνοπτική παρουσίαση βασικών θεμάτων των Μαθηματικών, και κυρίως της Μαθηματικής Ανάλυσης.
Τα θέματα που αναπτύσσονται αφορούν την Αλγεβρα, την Αναλυτική Γεωμετρία, τις Ακολουθίες και Σειρές πραγματικών αριθμών, το Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό συναρτήσεων μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών, τη Διανυσματική Ανάλυση, τις Σειρές Fourier, τις Μιγαδικές Συναρτήσεις, τις Διαφορικές Εξισώσεις και τις Εξισώσεις Διαφορών.
Η παρουσίαση αυτών των θεμάτων γίνεται με απλό, κατανοητό και πρακτικό τρόπο, χωρίς όμως να βλάπτεται η μαθηματική αυστηρότητα.
Βέβαια ο απαιτητικός αναγνώστης θα πρέπει να ανατρέξει σε άλλα πιο ειδικά βιβλία πάνω στα θέματα αυτά, όπου υπάρχουν περισσότερες λεπτομέρειες και άλλη επί πλέον ύλη.
Ο τρίτος τόμος αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια.
Στο ένατο κεφάλαιο περιέχονται στοιχεία της διανυσματικής ανάλυσης όπως ο διανυσματικός λογισμός, τα διανυσματικά πεδία, οι τελεστές (κλίση, απόκλιση, στροφή), το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα και ο τύπος του Green, τα επιεπιφάνεια ολοκληρώματα και τα θεωρήματα του Gauss και του Stokes, καθώς επίσης και στοιχεία από τις σειρές Fourier.
Στο δέκατο κεφάλαιο αναπτύσσονται τα βασικά θέματα των μιγαδικών συναρτήσεων όπως οι μιγαδικοί αριθμοί, το όριο, η συνέχεια, η παράγωγος, οι αναλυτικές συναρτήσεις, οι σύμμορφες απεικονίσεις, οι ομογραφικοί μετασχηματισμοί, η μιγαδική ολοκλήρωση, οι σειρές του Τaylor και του Laurent, τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα και οι αρμονικές συναρτήσεις.
Στο ενδέκατο κεφάλαιο περιέχονται οι διαφορικές εξισώσεις που αναφέρονται σε διαφορικές εξισώσεις πρώτης και ανώτερης τάξης, σε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τάξης n≥2, σε σειρές ως λύσεις διαφορικών εξισώσεων, στα συστήματα διαφορικών εξισώσεων, και στις μεθόδους επίλυσής τους (απαλοιφής, πινάκων), στις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης και στους μετασχηματισμούς Laplace.
Στο δωδέκατο κεφάλαιο αναφέρονται θέματα εξισώσεων διαφορών όπως οι γραμμικές εξισώσεις διαφορών πρώτης και ανώτερης τάξης, η ευστάθεια των λύσεων, τα γραμμικά συστήματα εξισώσεων διαφορών, η πρώτη γραμμική προσέγγιση και οι περιοδικές λύσεις.
Σε κάθε κεφάλαιο υπάρχουν ασκήσεις με τις απαντήσεις τους.

Περιεχόμενα

Κεφάλαιο 9: Ι. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
1. Ορισμοί – Ιδιότητες
2. Διανυσματικά πεδία – Τελεστές
3. Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα – Τύπος του Green
4. Επιεπιφάνεια ολοκληρώματα – Θεωρήματα του Gauss (απόκλισης) και του Stokes
5. Ασκήσεις

ΙΙ. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER
1. Σειρές Fourier
2. Σειρές ημιτόνων και σειρές συνημιτόνων
3. Σύγκλιση της σειράς Fourier
4. Aρτιες και περιττές επεκτάσεις συναρτήσεων
5. Παραγώγιση και ολοκλήρωση της σειράς Fourier
6. Ασκήσεις

Κεφάλαιο 10: ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
1. Μιγαδικοί αριθμοί
2. Mιγαδικές συναρτήσεις – Όριο – Συνέχεια – Παράγωγος
3. Αναλυτικές συναρτήσεις
4. Σύμμορφες απεικονίσεις
5. Ομογραφικοί μετασχηματισμοί
6. Μιγαδική ολοκλήρωση
7. Σειρές του Taylor και του Laurent
8. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρμογές τους
9. Aρμονικές συναρτήσεις
10. Ασκήσεις

Κεφάλαιο 11: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
1. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης
2. Πλήρεις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης – Ολοκληρωτικοί παράγοντες
3. Διαφορικές εξισώσεις των Clairaut και Lagrange – Iσογώνιες τροχιές – Διαδοχικές προσεγγίσεις
   Aσκήσεις

4. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης – Μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών – Μέθοδος της μεταβολής των σταθερών
5. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τάξης n≥3 – Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις του Euler – Yποβιβασμός της τάξης διαφορικής εξίσωσης
6. Σειρές ως λύσεις διαφορικών εξισώσεων
   Aσκήσεις

7. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων – Μέθοδος της απαλοιφής
8. Γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων – Μέθοδος των πινάκων
   Aσκήσεις

9. Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης
   Aσκήσεις

10. Μετασχηματισμός Laplace – Αντίστροφος μετασχηματισμός – Εφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις
    Aσκήσεις

11. Εφαρμογές των Διαφορικών Εξισώσεων

Κεφάλαιο 12: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ
1. Γραμμικές εξισώσεις διαφορών πρώτης και δεύτερης τάξης
2. Γραμμικές εξισώσεις διαφορών τάξης n≥3
3. Γραμμικά συστήματα εξισώσεων διαφορών
4. Πρώτη γραμμική προσέγγιση
5. Περιοδικές λύσεις
6. Ασκήσεις