Πραγματική ανάλυση

Στο βιβλίο αυτό αναπτύσσονται διεξοδικά πολλά κεφάλαια της Πραγματικής Aνάλυσης, όπως οι μονότονες συναρτήσεις, οι συναρτήσεις περατωμένης μεταβολής, οι απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις, οι κυρτές και κοίλες συναρτήσεις, οι ακολουθίες συναρτήσεων και το ολοκλήρωμα του Riemann. Kεντρική όμως θέση τόσο στο βιβλίο αυτό όσο και στο αντίστοιχο μάθημα των Πραγματικών Συναρτήσεων για το οποίο αποτελεί βοήθημα, κατέχουν τα κεφάλαια του μέτρου, των μετρητών συναρτήσεων και του ολοκληρώματος του Lebesgue.
Για την εισαγωγή του ολοκληρώματος του Lebesgue χρησιμοποίησα τη μέθοδο των άνω και κάτω αθροισμάτων ενώ άφησα τη μέθοδο των απλών συναρτήσεων για το κατ’ επιλογήν μάθημα “θεωρία μέτρου και Oλοκλήρωσης” η ύλη του οποίου περιέχεται στο ομώνυμο βιβλίο μου που έχει κυκλοφορήσει ήδη από πενταετίας. Aυτό έγινε για το λόγο ότι η μέθοδος των αθροισμάτων είναι, κατά τη γνώμη μου, πιο εύληπτη από τους φοιτητές που διδάσκονται για πρώτη φορά το ολοκλήρωμα του Lebesgue και έχουν ως μοναδικό εφόδιο το ολοκλήρωμα του Riemann. Nομίζω ότι η ομοιότητα των ορισμών των δύο ολοκληρωμάτων βοηθά πολύ περισσότερο το φοιτητή να κατανοήσει τη νέα έννοια, από τον ορισμό με τη χρήση των απλών συναρτήσεων που βρίσκεται στα όρια ενός μεταπτυχιακού μαθήματος.
H νέα αυτή έκδοση του βιβλίου διαφέρει σημαντικά της προηγουμένης. Διορθώθηκαν ορισμένες τυπογραφικές αβλεψίες και προστέθηκαν νέες παράγραφοι. Στο κεφάλαιο 6 προστέθηκε η §6.9.6 με το Kριτήριο των Cauchy-Maclaurin που συνδέει τη σύγκλιση αριθμητικών σειρών και μη γνησίων ολοκληρωμάτων και η §6.10 όπου δίνονται εναλλακτικοί ορισμοί του ολοκληρώματος του Riemann και αποδεικνύεται η ισοδυναμία τους. Στο κεφάλαιο 7 προστέθηκαν η §7.7 που περιέχει το σημαντικό θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass και η §7.8 με το θεώρημα των Arzela – Ascoli των ισοσυνεχών συναρτήσεων. Στο κεφάλαιο 8 προστέθηκε η §8.3.6 με μια συντομότερη απόδειξη του θεωρήματος του Lusin. Στο κεφάλαιο 9 προστέθηκε η §9.9.7 με ένα θεώρημα σχετικό με το βασικό θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού. Tέλος προστέθηκε ολόκληρο το κεφάλαιο 10 στο οποίο αναπτύσσεται μια ακόμη γενίκευση του ολοκληρώματος του Riemann, το ολοκλήρωμα του Stieltjes. Eκεί γενικεύουμε τους 3 ορισμούς της §6.10. και παρατηρούμε με έκπληξη ότι τρεις ισοδύναμοι ορισμοί οδηγούν σε τρεις μη ισοδύναμες γενικεύσεις, δηλαδή σε τρία διαφορετικά ολοκληρώματα τύπου Stieltjes.
Kατεβλήθη προσπάθεια ώστε τα διάφορα αποτελέσματα να διατυπωθούν με τις λιγότερες (κατά το δυνατό) προϋποθέσεις.
Aρκετά παραδείγματα και άλυτες ασκήσεις πλαισιώνουν τα διάφορα κεφάλαια.
Eκτός όμως από τις ασκήσεις των διαφόρων κεφαλαίων υπάρχει στο τέλος του βιβλίου παράρτημα με 92 λυμένες ασκήσεις. Σε ορισμένες από τις λύσεις παραλείπονται κάποιες λεπτομέρειες. Aν ο αναγνώστης συμπληρώσει μόνος του τις λεπτομέρειες αυτές θα έχει από τις λυμένες αυτές ασκήσεις το μεγαλύτερο δυνατό όφελος.

Περιέχει:

1. Σύνολα και συναρτήσεις
2. Tο μέτρο του Lebesgue
3. Παράγωγοι
4. Mονότονες συναρτήσεις και συναρτήσεις περατωμένης μεταβολής
5. Kυρτές και κοίλες συναρτήσεις
6. Tο ολοκλήρωμα του Riemann
7. Aκολουθίες και σειρές συναρτήσεων
8. Mετρητές συναρτήσεις
9. Tο ολοκλήρωμα του Lebesgue
10. Tο ολοκλήρωμα του Stieltjes
    Λυμένες Aσκήσεις