Στοχαστικές Ανελίξεις

Πολλές φορές θέλουμε να μελετήσουμε φαινόμενα ή συστήματα τα οποία εξελλίσονται, κυρίως αναφορικά με τον χρόνο, και των οποίων η μελλοντική συμπεριφορά δεν είναι τελείως καθορισμένη (προβλέψιμη) αλλά χαρακτηρίζεται από ένα είδος «τυχαιότητας». Τέτοιου είδους συστήματα συναντά κανείς γύρω του στην Φυσική, στην Βιολογία, στην Οικονομία, στις Κοινωνικές Επιστήμες, στην Αστρονομία κ.α. Με τον όρο «Στοχαστικές Μέθοδοι» εννοούμε όλες εκείνες τις Μαθηματικές μεθόδους, με την βοήθειά των οποίων μελετάμε συστήματα, που η λειτουργία τους επηρεάζεται σε μεγάλο βαθμό από τον παράγοντα τύχη. Τα συστήματα αυτά καλούνται Στοχαστικά και η Θεωρία των Πιθανοτήτων φαίνεται να είναι το κατάλληλο πλαίσιο για την μελέτη τους. Πράγματι, τα Μαθηματικά μοντέλα που χρησιμοποιούνται τόσο για την περιγραφή όσο και για την μελέτη των Στοχαστικών αυτών συστημάτων κατασκευάζονται με την βοήθεια οικογενειών τυχαίων μεταβλητών, τις οποίες καλούμε Στοχαστικές Ανελίξεις (σ.α). Μερικές από τις βασικές Στοχαστικές Ανελίξεις εξετάζονται αναλυτικά στο εν λόγω σύγγραμμα.

Το βιβλίο αυτό ξεκίνησε σαν ιδέα κατά την διάρκεια του ακαδημαϊκού έτους 1986-87, στα πλαίσια της συνεργασίας των συγγραφέων στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Πατρών. Το υλικό που προέκυψε, χρησιμοποιήθηκε από τους φοιτητές του Τμήματος για τις ανάγκες του μαθήματος «Επιχειρησιακή Έρευνα» (Εαρινό εξάμηνο 1987). Η συνεργασία συνεχίστηκε το ακαδ. έτος 2000-01, με αποτέλεσμα τον εμπλουτισμό του τόσο σε ύλη όσο και εφαρμογές και πήρε τελικά την παρούσα μορφή. Αποτελείται από έντεκα κεφάλαια, για την δε μελέτη του είναι απαραίτητη η καλή γνώση της Θεωρίας Πιθανοτήτων.
Στο Πρώτο και στο Δεύτερο Κεφάλαιο γίνεται μιά σύντομη ανακεφαλαίωση της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Για παραπέρα αναφορά στο αντικείμενο, μπορεί να χρησιμοποιήσει κανείς μέρος της βιβλιογραφίας που προτείνουμε.
Στο Τρίτο Κεφάλαιο δίνεται ο ορισμός μιάς Στοχαστικής Ανέλιξης, ταξινομούνται οι σ.α. και αναφέρονται χαρακτηριστικά παραδείγματα τους.
Στο Τέταρτο και Πέμπτο Κεφάλαιο, γίνεται αναφορά στις Αλυσίδες Markov, τόσο σε απλή διαισθητική όσο και αυστηρά μαθηματική μορφή και περιγράφονται βασικές ιδιότητές τους. Εξετάζονται οι καταστάσεις μιας Α.Μ. με σκοπό την απόδειξη της ύπαρξης οριακής κατανομής.
Στο Έκτο Κεφάλαιο δίνεται ο ορισμός και οι ιδιότητες μιάς από τις βασικές Ανελίξεις Απαρίθμησης, της λεγόμενης Ανέλιξης Poisson.
Στο Έβδομο Κεφάλαιο περιγράφονται τα Συστήματα Ουράς, αναφέρονται τα κύρια χαρακτηριστικά, ο τρόπος συμβολισμού και ταξινόμησής τους.
Στα Όγδοο και το Ένατο Κεφάλαιο εξετάζονται οι Ουρές Μ/Μ/1 και Μ/Μ/1/k αντίστοιχα και υπολογίζονται τα μέτρα λειτουργικότητας τους.
Στο Δέκατο Κεφάλαιο περιγράφονται οι Ανελίξεις Γέννησης – Θανάτου και αποδεικνύεται πως οι Ουρές που μελετώνται εδώ, μπορούν να προκύψουν σαν ειδικές περιπτώσεις τέτοιων Ανελίξεων. Με την βοήθεια των Ανελίξεων Γέννησης-Θανάτου μελετάμε ειδικότερες κατηγορίες Ουρών.
Τέλος στο Ενδέκατο Κεφάλαιο γίνεται αναφορά στην Μ/Μ/s Ουρά, στα μέτρα λειτουργικότητάς της όπως επίσης και σε γενικεύσεις της.

Σε κάθε Κεφάλαιο, μετά την εισαγωγή των περισσότερων Εννοιών καθώς και την απόδειξη βασικών Θεωρημάτων, υπάρχουν λυμένα παραδείγματα για την περαιτέρω κατανόησή και εμβάθυνσή τους. Στο τέλος επίσης κάθε Κεφαλαίου υπάρχουν λυμένες ασκήσεις και εφαρμογές, συνέχεια και αναπόσπαστο κομμάτι της αντίστοιχης Θεωρίας.Υπάχουν ακόμα προτεινόμενα προβλήματα η επίλυση των οποίων είναι απαραίτητη, στο να αποκτήσει κανείς ευχέρεια στην εφαρμογή των όσων ήδη έχει μελετήσει, σε πραγματικές καταστάσεις.
Το βιβλίο κλείνει με δυό Παραρτήματα, Α και Β. Στο Παράρτημα Α υπάρχουν λυμένες επιλεγμένες ασκήσεις στις Αλυσίδες Markov, στην Ανέλιξη Poisson και στα διάφορα είδη Ουρών. Η δυσκολία των ασκήσεων αυτών ποικίλει. Στο Παράρτημα Β υπάρχουν οι αναγκαίοι πίνακες, για την μελέτη διαφόρων χαρακτηριστικών των τ.μ.

Πιστεύουμε ότι το πόνημά μας συνεισφέρει στην Ελληνική βιβλιογραφία της αντίστοιχης θεματολογίας. Αναλαμβάνουμε την ευθύνη των όποιων παραλήψεων ή λαθών υπάρχουν και θεωρούμε τιμή μας την υπόδειξή τους από τα άτομα που θα το μελετήσουν.

Περιεχόμενα

1o Κεφάλαιο: Πιθανότητες

1. Εισαγωγή
2. Ανεξαρτησία
3. Δεσμευμένη πιθανότητα
4. Ασκήσεις

2o Κεφάλαιο: Τυχαίες Μεταβλητές και Κατανομές τους

1. Τυχαίες μεταβλητές
2. Διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές – κατανομές
3. Αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής
4. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές: κατανομές και ροπές
5. Στοχαστική ανεξαρτησία τ.μ.
6. Ασκήσεις

3o Κεφάλαιο: Στοχαστικές Ανελίξεις

1. Στοχαστικές ανελίξεις
2. Ταξινόμηση των στοχαστικών ανελίξεων
3. Παραδείγματα στοχαστικών ανελίξεων
4. Κατανομή μιας στοχαστικής ανέλιξης
5. Ασκήσεις

4o Κεφάλαιο: Αλυσίδες Markov

1. Αλυσίδες Markov. Ένα παράδειγμα
2. Αλυσίδες Markov
3. Πίνακας μετάβασης ενός βήματος
4. Παραδείγματα Αλυσίδων Markov
5. Υπολογισμός των χρονικά εξαρτημένων πιθανοτήτων
6. Οριακές πιθανότητες των καταστάσεων
7. Ασκήσεις
8. Προβλήματα

5o Κεφάλαιο: Ταξινόμηση καταστάσεων – Στάσιμες κατανομές Αλυσίδας Markov

1. Ταξινόμηση των καταστάσεων μιας Αλυσίδας Markov
2. Επάνοδος και Παροδικότητα
3. Θετικά και μηδενικά επανερχόμενες καταστάσεις
4. Περιοδικότητα
5. Στάσιμες κατανομές μιας Αλυσίδας Markov
6. Ασυμπτωτική συμπεριφορά των πιθανοτήτων μετάβασης
7. Ύπαρξη και μοναδικότητα στάσιμων κατανομών
8. Πιθανότητες απορρόφησης
9. Ασκήσεις
10. Προβλήματα

6o Κεφάλαιο: Ανέλιξη Poisson

1. Εισαγωγή
2. Ενδιάμεσοι χρόνοι και χρόνοι αναμονής
3. Γενικεύσεις της Ανέλιξης Poisson
4. Ασκήσεις
5. Προβλήματα

7o Κεφάλαιο: Θεωρία Ουρών

1. Το βασικό σύστημα ουράς
2. Εισαγωγή
3. Χαρακτηριστικά συστημάτων ουράς
4. Συμβολική παράσταση των ουρών
5. Μέτρα λειτουργικότητας μιας ουράς

8o Κεφάλαιο: Η Ουρά Μ/Μ/1

1. Εισαγωγή
2. Μέτρα λειτουργικότητας της ουράς
3. Χρόνοι αναμονής και κατανομές τους
4. Ασκήσεις
5. Προβλήματα

9o Κεφάλαιο: Η Ουρά Μ/Μ/1/k

1. Εισαγωγή
2. Μέτρα λειτουργικότητας της ουράς
3. Ασκήσεις
4. Προβλήματα

10o Κεφάλαιο: Ανέλιξη Γέννησης – Θανάτου

1. Εισαγωγή
2. Εφαρμογές της Ανέλιξης Γέννησης – Θανάτου
3. Μ/Μ/1 ουρά με μεταβλητές αφίξεις
4. Μ/Μ/1 ουρά με μεταβλητό ρυθμό εξυπηρέτησης
5. Ασκήσεις
6. Προβλήματα

11o Κεφάλαιο: Η Ουρά Μ/Μ/s

1. Εισαγωγή
2. Μέτρα λειτουργικότητας της M/M/s ουράς
3. Ασκήσεις
4. Προβλήματα

Παράρτημα Α: Επιλεγμένες Ασκήσεις

1. Αλυσίδες Markov
2. Ταξινόμηση καταστάσεων
3. Στάσιμες κατανομές
4. Ανέλιξη Poisson
5. Θεωρία Ουρών

Παράρτημα Β: Πίνακες

1. Διωνυμικοί πίνακες
2. Πίνακες Poisson
3. Πίνακας κανονικής κατανομής
4. Πίνακας χαρακτηριστικών των τ.μ.