Επιλεγμένα Θέματα από τα Μαθηματικά για τους διαγωνισμούς του ΑΣΕΠ

Το θέμα Β3 των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2013 στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης βρίσκεται στις σελίδες 65-66 του βιβλίου

Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε κάθε συνάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε νέο συνάδελφο που πρόκειται να συμμετάσχει στο διαγωνισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύνεται σε μαθητές με υψηλούς στόχους.
Περιέχει εκείνα τα θεωρητικά στοιχεία που δεν αναφέρονται στα σχολικά βιβλία του Λυκείου και τα οποία θεωρούμε απαραίτητες γνώσεις για έναν υποψήφιο δάσκαλο των Μαθηματικών. Τα θεωρητικά αυτά στοιχεία συνοδεύονται από κατάλληλα παραδείγματα και εφαρμογές. Θεωρήσαμε αναγκαίο να προτείνουμε για λύση αντιπροσωπευτικές πρωτότυπες ασκήσεις, για τις οποίες δίνεται σύντομη λύση στο τέλος κάθε κεφαλαίου.

Τα κεφάλαια που αναπτύσσονται είναι:

1. Αλγεβρα
2. Ανάλυση
3. Στατιστική
4. Πιθανότητες
5. Ευκλείδεια Γεωμετρία
6. Αναλυτική Γεωμετρία

Αναφέρουμε ενδεικτικά ορισμένα από τα θέματα που θα συναντήσει ο αναγνώστης:

• Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο Ön είναι άρρητος.
• Πώς υπολογίζεται το άθροισμα 1^κ+2^κ+3^κ+…+ν^κ (όπου κÎΝ*);
• Πόσους διαιρέτες έχει ένας φυσικός αριθμός;
• Ποια είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα πολυώνυμο να έχει πολλαπλή ρίζα;
• Πότε είναι αντιστρέψιμη η συνάρτηση f(x)=αx³+βx²+γx+δ (α¹0);
• Πότε μια συνάρτηση 1–1 είναι γνησίως μονότονη;
• Πώς αποδεικνύεται ο νόμος διάθλασης του φωτός;
• Πώς αποδεικνύεται το διωνυμικό θεώρημα;
• Ποιο σημείο έχει ελάχιστο άθροισμα αποστάσεων από τις κορυφές τριγώνου;
• Πότε και ποια κωνική τομή παριστάνει η εξίσωση Αx²+Bxy+Γy²+Δx+Ey+Z = 0;

Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν παραρτήματα με ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής απ’ όλα τα κεφάλαια με τις απαντήσεις τους. Ένα δεύτερο παράρτημα περιέχει αντιπροσωπευτικά σχέδια μαθημάτων από τη διδασκόμενη ύλη στο Λύκειο.

Περιεχόμενα

1o κεφάλαιο: ΑΛΓΕΒΡΑ

1. Η παραγοντοποίηση των διωνύμων α^ν–β^ν και α^ν+β^ν
2. Σύγκριση δυνάμεων
3. Πράξεις άρτιων και περιττών ακεραίων
4. Ρητοί και άρρητοι αριθμοί
5. Διπλά ριζικά
6. Ακέραιο μέρος πραγματικού αριθμού
7. Η διώνυμη εξίσωση x^ν = α
8. Παραλλαγές της μαθηματικής επαγωγής
9. Στοιχεία από τη θεωρία των συνόλων
10. Ανισότητες
11. Υπολογισμός του αθροίσματος S_κ = 1^κ+2^κ+3^κ+…+ν^κ
12. Διαιρετότητα ακέραιων αριθμών
13. Αλγοριθμική διαίρεση πολυωνύμων
14. Ρητές ρίζες πολυωνυμικής εξίσωσης
15. Γενικά θεωρήματα για τις ρίζες πολυωνύμων
16. Πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού
17. Θέση των πραγματικών ριζών πολυωνύμου
18. Πρόοδοι
19. Τριγωνομετρία
20. Πίνακες
21. Ορίζουσες και γραμμικά συστήματα
22. Μιγαδικοί αριθμοί
    Ασκήσεις στην Αλγεβρα
    Υποδείξεις των Ασκήσεων Αλγεβρας

2o κεφάλαιο: ΑΝΑΛΥΣΗ

1. Συμμετρία γραφικών παραστάσεων
2. Προσεταιριστικότητα της σύνθεσης συναρτήσεων
3. Αντίστροφη συνάρτηση
4. Πεπερασμένο όριο συνάρτησης στο x₀ÎR
5. Μη πεπερασμένο όριο συνάρτησης στο x₀ÎR
6. Όριο συνάρτησης στο άπειρο
7. Συνέχεια συνάρτησης
8. Παράγωγος συνάρτησης
9. Διαφορικό συνάρτησης
10. Τα βασικά θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού
11. Μονοτονία συνάρτησης
12. Τοπικά ακρότατα συνάρτησης
13. Κυρτές συναρτήσεις και σημεία καμπής
14. Ασύμπτωτες γραφικής παράστασης
15. Απροσδιόριστες μορφές
16. Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος
17. Ύπαρξη παράγουσας μιας συνεχούς συνάρτησης
18. Το ολοκλήρωμα της αντίστροφης συνάρτησης
19. Εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος
    Ασκήσεις στην Ανάλυση
    Υποδείξεις των Ασκήσεων Ανάλυσης

3o κεφάλαιο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

1. Ομαδοποιημένη κατανομή
2. Παράμετροι κεντρικής τάσης
3. Παράμετροι διασποράς
4. Γραμμική παλινδρόμηση και γραμμική συσχέτιση

4o κεφάλαιο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

1. Συνδυαστική
2. Συνδυαστική Ανάλυση και Πιθανότητες
3. Δεσμευμένη πιθανότητα
4. Ανεξάρτητα ενδεχόμενα
5. Δοκιμές Bernoulli
   Ασκήσεις στις Πιθανότητες
   Υποδείξεις των Ασκήσεων στις Πιθανότητες

5o κεφάλαιο: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1. Τρίγωνο με δύο ίσες διχοτόμους
2. Η δύναμη των κέντρων τριγώνου
3. Σημείο Fermat
4. Σημείο Miquel
5. Θεώρημα Morley
6. Ορθικό τρίγωνο
7. Μήκος κύκλου και εμβαδόν κυκλικού δίσκου
8. Ο κύκλος των εννέα σημείων
9. Σύστημα Vecten
10. Μήκους κοινού εφαπτόμενου τμήματος δύο κύκλων
11. Συμμετροδιάμεσος τριγώνου
12. Διάφορες αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος
13. Ανισα τρίγωνα με πέντε κύρια στοιχεία ίσα
14. Οι δίδυμοι κύκλοι του Αρχιμήδη
15. Εμβαδόν τραπεζίου συναρτήσει των πλευρών του
16. Υπολογισμός διαγωνίων εγγράψιμου τετραπλεύρου

6o κεφάλαιο: ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1. Συντεταγμένες στο χώρο
2. Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
3. Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων
4. Σχετική θέση δύο ευθειών του επιπέδου
5. Γωνία δύο ευθειών του επιπέδου
6. Δέσμη ευθειών του επιπέδου
7. Ριζικός άξονας δύο κύκλων
8. Τα Θεωρήματα Μενελάου και Ceva
9. Εφαπτομένη κωνικής τομής

Παράρτημα Α: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

Παράρτημα Β: ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΑ ΣΧΕΔΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ

1. Η έννοια της απόλυτης τιμής
2. Πρόσημο τριωνύμου
3. Τριγωνική ανισότητα
4. Αρρητες εξισώσεις και ανισώσεις
5. Η έννοια του λογαρίθμου
6. Σύνθεση συναρτήσεων
7. Αντίστροφη συνάρτηση
8. Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
9. Κυρτότητα και σημεία καμπής συνάρτησης
10. Η συνάρτηση F(x) = ò^s_αf(t)dt