Εισαγωγή στη Γραμμική Αλγεβρα

Δεν υπάρχει καμία αμφιβολία ότι τόσο στην διεθνή όσο και στην εγχώρια βιβλιογραφία (σε ελληνικές μεταφράσεις ή/και μέσω αυθεντικής συγγραφής) υπάρχουν πολλά καλά βιβλία για την Γραμμική Αλγεβρα (Γ.Α.).
Στην Εισαγωγή που ακολουθεί, μαζί με τις «συμβουλές» μας για το πώς θα κάνει ο αναγνώστης –διδάσκων ή διδασκόμενος– την πιο καλή χρήση του παρόντος βιβλίου, εξηγούμε γιατί θα ήταν πιο ακριβές να αποκαλούσαμε τόσο την ύλη μας, όσο και το περιεχόμενο των πιο πολλών από τα συναφή υπάρχοντα βιβλία, ως Γραμμική Αλγεβρα Ι. (Παραμένει φιλοδοξία μας-που μπορεί όμως να μείνει και ανεκπλήρωτη! –να μπορέσουμε κάποτε να παρουσιάσουμε και ένα βατό –ή έστω «βατό»– σύγγραμμα Γ.Α. ΙΙ).
Γιατί λοιπόν άλλο ένα βιβλίο Γ.Α. Ι; Διότι χωρίς να πρέπει να καταφύγουμε, ως συνήθως, σε ένα ογκώδες σύγγραμμα, με πάρα πολλές τεχνικές λεπτομέρειες, επιχειρούμε να δώσουμε χωρίς εκπτώσεις το απόσταγμα μιας, ας πούμε, πρώτης προσέγγισης με αυτόν τον πολύ χρήσιμο μαθηματικό κλάδο.
Όπως θα δείτε στην Εισαγωγή επιδιώξαμε –και εσείς θα κρίνετε αν το πετύχαμε– να καλύψουμε βασικές εκπαιδευτικές ανάγκες των τριών πρώτων εξαμήνων –και σε μερικά σημεία ίσως και ακόμα πιο μεγάλων– των φοιτητών των Φυσικομαθηματικών και Πολυτεχνικών Σχολών, αλλά και των Σχολών Τεχνολογικών Εφαρμογών των ΤΕΙ.
Βέβαια πέρα από έναν επιμελή αναγνώστη το βιβλίο αυτό έχει ανάγκη και από ένα διδάσκοντα με ζήλο. Αυτός είναι ο πραγματικός μαέστρος και εμείς απλώς του προσφέραμε την δική μας μπαγκέτα!

Περιεχόμενα

Εισαγωγή

• Κατατοπιστική γενική παρατήρηση
• Μικρή ιστορική αναδρομή της γραμμικής άλγεβρας
• Πώς διαστρωματώνεται η ύλη του βιβλίου

Κεφ. 1: Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Εισαγωγή
1. Διανυσματικοί Χώροι (Linear Spaces)
2. Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο (Inner Product Spaces)
3. Η έννοια της Στάθμης και οι δ.χ. με Στάθμη (Νorm & Normed Spaces)
4. Ορθογώνια και Oρθοκανονικά Συστήματα (Orthogonality – Orthonormality)
5. Ορθογώνιες Προβολές & Προσεγγίσεις (Projections & Approximations)
   Επαναληπτικές Ασκήσεις 1ου Κεφαλαίου

Κεφ. 2: Πίνακες και Ορίζουσες

Εισαγωγικές έννοιες
1. Η Αλγεβρα των Πινάκων
2. Τα Κύρια Χαρακτηριστικά των Πινάκων και Μερικά Είδη Πινάκων
3. Η Ορίζουσα ενός Πίνακα και οι Ιδιότητές της
4. H Μέθοδος του Gauss για την Επίλυση των Γραμμικών Συστημάτων
5. Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφ. 3: Γραμμική Ανεξαρτησία Διανυσμάτων και Βάσεις Διανυσματικών Χώρων

Εισαγωγή
1. Γραμμική Ανεξαρτησία και Βάσεις
2. Ορθογώνιες και Ορθοκανονικές Βάσεις (σε Χώρους Πεπερασμένης Διάστασης)
3. Η Ορθογωνιοποίησης των Gram & Schmidt και οι Παραλλαγές της

Κεφ. 4: Οι Τετραγωνικοί Πίνακες ως Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Εισαγωγικές έννοιες
1. Συμμετρικός Γραμμικός Μετασχηματισμός
2. Ο Ερμιτιανός Γραμμικός Μετασχηματισμός
3. Ο Ορθομοναδιαίος Γραμμικός Μετασχηματισμός
   Ασκήσεις 4ου Κεφαλαίου

Κεφ. 5: Τέσσερα Θεμελιώδη Θεωρήματα της Γραμμικής Αλγεβρας

Εισαγωγικές έννοιες
1. Το Θεώρημα των Cayley & Hamilton
2. Το Φασματικό Θεώρημα
3. Το Θεώρημα της Διαγωνιοποίησης
4. Το Θεώρημα των Κυρίων Αξόνων (Θ.Κ.Α)
   Ασκήσεις 5ου Κεφαλαίου

Παραρτήματα

• Μη Πεπερασμένα Ορθογώνια Συστήματα
• Διακριτός (Discrete) και Ταχύς (Fast) Μετασχηματισμός Fourier (FT)
• Ειδικές Εφαρμογές της Γραμμικής Αλγεβρας
• Στοιχεία Αριθμητικής Γραμμικής Αλγεβρας

Ειδική Βιβλιογραφία
Γενική Βιβλιογραφία
Ευρετήριο αγγλικών όρων
Ευρετήριο ελληνικών όρων