Γεωμετρική Γεωδαισία

Η έως σήμερα 20ετής και πλέον ανάθεση διδασκαλίας του υποχρεωτικού μαθήματος με πρόσφατο τίτλο «Γεωμετρική Γεωδαισία και Δίκτυα» για τους φοιτητές του Τμήματος Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του ΑΠΘ, η 25ετής ερευνητική ενασχόλησή μου με το αντικείμενο της Γεωδαισίας και μάλιστα της Γεωμετρικής Γεωδαισίας, των Συνορθώσεων των Γεωδαιτικών Δικτύων και του Προσδιορισμού Θέσης αλλά και οι διαρκώς εξελισσόμενες τεχνολογίες με οδήγησαν στη συγγραφή του παρόντος διδακτικού βιβλίου.
Το τελευταίο κεφάλαιο, με πάνω από είκοσι λυμένες ασκήσεις και πρακτικά προβλήματα, αποκτά ιδιαίτερη αξία. Ο φοιτητής ή και ο επαγγελματίας Μηχανικός και ερευνητής έχει ένα ισχυρό εφόδιο και μία αναφορά, που δύσκολα συναντά κανείς στη διεθνή βιβλιογραφία, για να μελετήσει, να ελέγξει τους υπολογισμούς και τα προγράμματά του και ιδίως να κατανοήσει αρχές και μεθοδολογίες ώστε να μπορεί να τις εφαρμόζει τόσο στην καθημερινή πρακτική όσο και σε εξειδικευμένα προβλήματα. Ας μην ξεχνάμε ότι το αντικείμενο της Γεωμετρικής Γεωδαισίας έχει κυρίως εφαρμοσμένο χαρακτήρα και η λύση των σχετικών προβλημάτων απαιτεί μεταξύ άλλων “απαιτητικούς” υπολογισμούς κάθε μορφής. Σχεδόν όλοι οι υπολογισμοί έγιναν με προγράμματα και αλγορίθμους που ανέπτυξα ο ίδιος, όπως το γνωστό σε πολλούς πρόγραμμα ΝΕΕD που έχει χρησιμοποιηθεί κατά την εκπόνηση Διπλωματικών Εργασιών, Μεταπτυχιακών και Διδακτορικών Διατριβών καθώς και σε ερευνητικές εργασίες, ερευνητικά προγράμματα και επαγγελματικές εφαρμογές και μελέτες.
Στην παρούσα ύλη δεν συμπεριλαμβάνονται με λεπτομέρεια θέματα σχετικά με τα σύγχρονα δορυφορικά συστήματα προσδιορισμού θέσης παρά μόνον οι εξισώσεις παρατηρήσεων για τη συνόρθωση των δικτύων και οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων. Οι βασικές αρχές, έννοιες και μέθοδοι μετρήσεων θεωρούνται γνωστές από τον αναγνώστη. Για αυτά τα θέματα, στα οποία αφιερώνονται ξεχωριστά μαθήματα στο Τμήμα ΑΤΜ του ΑΠΘ, συστήνεται ιδιαιτέρως το πρόσφατο βιβλίο “GPS και Γεωδαιτικές Εφαρμογές” (Α. Φωτίου και Χ. Πικριδάς, 2006). Η αξιοποίηση της σύγχρονης τεχνολογίας των δορυφορικών συστημάτων πλοήγησης και προσδιορισμού θέσης (GPS, GLONASS, GALILEO) αποτελεί επανάσταση στις βασικές γεωδαιτικές εφαρμογές, όπως είναι η ίδρυση δικτύων και αξιόπιστων γεωδαιτικών datum, η παρακολούθηση των μικρομετακινήσεων του γήινου φλοιού και των κρίσιμων τεχνικών έργων.
Το κεφάλαιο 1 διατρέχει την ιστορική εξέλιξη του αντικειμένου της Γεωδαισίας, από την αρχαιότητα έως σήμερα, δίνοντας έμφαση στους σημαντικότερους σταθμούς – ορόσημα και αναδεικνύοντας τη σύγχρονη διάσταση της Γεωδαισίας και ειδικότερα της Γεωμετρικής Γεωδαισίας και των Δικτύων.
Στο κεφάλαιο 2 ορίζονται βασικές γεωδαιτικές έννοιες, το γεωειδές, το ελλειψοειδές, τα υψόμετρα, ο ρόλος του πεδίου βαρύτητας, η απόκλιση της κατακορύφου οι παράμετροι των ελλειψοειδών αναφοράς και δίνεται η μαθηματική σχέση μεταξύ γεωδαιτικών ελλειψοειδών και καρτεσιανών συντεταγμένων.
Η γεωμετρία του ελλειψοειδούς, οι διάφορες κάθετες τομές και ο υπολογισμός του μήκους τόξου μεσημβρινού είναι τα βασικότερα στοιχεία που αναπτύσσονται στο κεφάλαιο 3.
Για τα θεμελιώδη προβλήματα στο ελλειψοειδές και στη σφαίρα, το ευθύ και το αντίστροφο, αφιερώνεται αποκλειστικά το κεφάλαιο 4.
Το κεφάλαιο 5, ένα από τα πλέον σημαντικά κεφάλαια με πρακτική αξία, αναφέρεται στις γεωδαιτικές και χαρτογραφικές απεικονίσεις με έμφαση την ελληνική πραγματικότητα (Hatt, TM3, TM87, UTM, παλαιό ελληνικό datum, ΕΓΣΑ87, WGS84, ITRFyy). Οι ευθείες και αντίστροφες εξισώσεις απεικόνισης, η αλλαγή προβολικού συστήματος και datum, οι αναγωγές των παρατηρήσεων από το ελλειψοειδές στο προβολικό επίπεδο και οι εντάξεις δικτύων GPS αποτελούν τις βασικές ενότητες του κεφαλαίου.
Το κεφάλαιο 6 πραγματεύεται τα θέματα ορισμού και σχέσεων μεταξύ των βασικών συστημάτων αναφοράς (γεωκεντρικό, γεωδαιτικό καρτεσιανό, τοπικό αστρονομικό, τοπικό γεωδαιτικό) για να καταλήξουμε στις σχέσεις αναγωγών των παρατηρήσεων και των αποκλίσεων της κατακορύφου στο ελλειψοειδές αναφοράς, διευκολύνοντας έτσι τον ορισμό και την ίδρυση του γεωδαιτικού συστήματος αναφοράς (γεωδαιτικό datum) με σύγχρονες ή παραδοσιακές μεθόδους. Παράλληλα μορφώνονται διαφορικές σχέσεις μεταβολής των γεωδαιτικών συντεταγμένων, των αποκλίσεων της κατακορύφου και των υψομέτρων του γεωειδούς κατά την αλλαγή datum, παρουσιάζεται η μεθοδολογία της βέλτιστης προσαρμογής του ελλειψοειδούς στο γεωειδές και δίνεται εύχρηστο τυπολόγιο για το μετασχηματισμό ομοιότητας. Τέλος, περιγράφονται τα ελληνικά γεωδαιτικά συστήματα, τα Διεθνή Επίγεια και Ουράνια Συστήματα και Πλαίσια Αναφοράς καθώς και τα βασικά Συστήματα Χρόνου.
Αναλυτικές σχέσεις και μεθοδολογία για την αναγωγή των παρατηρήσεων από τη γήινη επιφάνεια στο ελλειψοειδές δίνονται στο κεφάλαιο 7 που σε συνδυασμό με τις αναγωγές που περιγράφονται στο κεφάλαιο 6 ολοκληρώνουν το πρόβλημα των αναγωγών των παρατηρήσεων. Επίσης γίνονται σχόλια και πρακτικές υποδείξεις ενώ παρουσιάζεται αλγόριθμος για την αναγωγή πολύ μεγάλων αποστάσεων, ένα πρόβλημα που αποκτά σήμερα αξία με τη χρήση των συστημάτων GNSS.
Το κεφάλαιο 8 έρχεται ως λογικό επακόλουθο των προηγουμένων κεφαλαίων αφού ασχολείται με τη συνόρθωση των γεωδαιτικών δικτύων με έμφαση τα μαθηματικά μοντέλα, δηλαδή, τις εξισώσεις παρατηρήσεων στο ελλειψοειδές, στο προβολικό επίπεδο και στις 3-Δ.
Το κεφάλαιο 9 συμπληρώνει το προηγούμενο και καλύπτει τον ποιοτικό έλεγχο των γεωδαιτικών δικτύων. Περιγράφονται αναλυτικά οι έννοιες της ακρίβειας και της αξιοπιστίας και οι βασικοί στατιστικοί έλεγχοι στα αποτελέσματα της συνόρθωσης, ο έλεγχος της μεταβλητότητας αναφοράς και η σάρωση δεδομένων. Δίνονται τα αντίστοιχα μέτρα ακρίβειας και οι περιοχές εμπιστοσύνης. Ο έλεγχος της ποιότητας των γνωστών σημείων, ο σχεδιασμός και η βελτιστοποίηση των δικτύων, καθώς και πρότυπα ή τυποποιημένα μέτρα διεθνών προδιαγραφών συμπληρώνουν το περιεχόμενο του κεφαλαίου.
Οι 24 λυμένες ασκήσεις και προβλήματα του 10ου κεφαλαίου έρχονται να συμβάλουν στην εμπέδωση της ύλης, τουλάχιστον σε ό,τι αφορά τις πρακτικές εφαρμογές, και να βοηθήσουν τον έλεγχο και τον προγραμματισμό αλγορίθμων και μεθόδων.
Τέλος στο Παράρτημα Α δίνονται Πίνακες συντελεστών για την επίλυση των προβλημάτων της απεικόνισης Hatt (κυρίως για εκπαιδευτική χρήση) ενώ στο Παράρτημα Β παρατίθενται οι απαραίτητοι στατιστικοί πίνακες για τους ελέγχους αξιοπιστίας των δικτύων και γενικότερα για τον ποιοτικό έλεγχο.

Περιεχόμενα

1. Εισαγωγή
   1. Tο αντικείμενο της Γεωδαισίας
   2. Ιστορική ανάπτυξη της Γεωδαισίας
   3. Η εξέλιξη των γεωδαιτικών εργασιών στην Ελλάδα
2. Σχήμα γης, επιφάνειες αναφοράς και προσδιορισμός θέσης
   1. Προσαρμογή ελλειψοειδούς αναφοράς στο γεωειδές και βασική σχέση υψομέτρων
   2. Ελλειψοειδείς και καρτεσιανές γεωδαιτικές συντεταγμένες
   3. Γήινο πεδίο βαρύτητας και προσδιορισμός θέσης
   4. Παράμετροι ελλειψοειδούς αναφοράς
3. Γεωμετρία του ελλειψοειδούς
   1. Οι διαστάσεις του γήινου ελλειψοειδούς
   2. Eξισώσεις ελλειψοειδούς και μεσημβρινής έλλειψης
   3. Γεωκεντρική γωνία και ανηγμένο πλάτος
   4. Aκτίνες καμπυλότητας στο ελλειψοειδές
   5. Βασικές διαφορικές σχέσεις στο ελλειψοειδές
   6. Το μήκος τόξου μεσημβρινού
   7. Το μήκος τόξου παραλλήλου
   8. Το εμβαδόν ελλειψοειδούς τραπεζίου
   9. Κάθετη τομή και γεωδαισιακή γραμμή
4. Θεμελιώδη προβλήματα στο ελλειψοειδές
   1. Tο ευθύ πρόβλημα με αναπτύξεις σε σειρά (γραμμές £40 km)
   2. Tο ευθύ και το αντίστροφο πρόβλημα με τους τύπους του μέσου πλάτους του Gauss (γραμμές £200 km)
   3. Tο ευθύ και το αντίστροφο πρόβλημα για μεγάλου μήκους γεωδαισιακές γραμμές (γραμμές £20000 km)
   4. Τα θεμελιώδη προβλήματα στη σφαίρα
5. Απεικονίσεις και Προβολικά Συστήματα
   1. Aπεικόνιση – Προβολή
   2. Tα προβολικά συστήματα στην Ελλάδα
   3. H απεικόνιση Hatt
   4. Eγκάρσια Mερκατορική απεικόνιση ή απεικόνιση Gauss – Kruger
6. Συστήματα αναφοράς και γεωδαιτικό datum
   1. Γεωκεντρικό και γεωδαιτικό καρτεσιανό σύστημα
   2. Τοπικό αστρονομικό και τοπικό γεωδαιτικό σύστημα
   3. Σχέση τοπικών συντεταγμένων και αναγωγές παρατηρήσεων
   4. Mετασχηματισμοί συντεταγμένων
   5. Γεωδαιτικό Datum
   6. Tα ελληνικά γεωδαιτικά συστήματα
   7. Ο μετασχηματισμός ομοιότητας
   8. Σύγχρονα συστήματα αναφοράς και χρόνος
7. Aναγωγές παρατηρήσεων στο ελλειψοειδές
   1. Aναγωγές διευθύνσεων και γωνιών στο ελλειψοειδές
   2. Aναγωγή απόστασης στο ελλειψοειδές
   3. Aναγωγές κατά την αντίστροφη πορεία
   4. Aναγωγές πολύ μεγάλων αποστάσεων
8. Γεωδαιτικά δίκτυα
   1. H έννοια του γεωδαιτικού δικτύου
   2. Εξισώσεις παρατηρήσεων και συνόρθωση δικτύου
   3. Οι εξισώσεις παρατηρήσεων στο ελλειψοειδές
   4. Οι εξισώσεις παρατηρήσεων στο επίπεδο
   5. Συνόρθωση γεωδαιτικών δικτύων στις τρεις διαστάσεις
   6. Εξισώσεις παρατηρήσεων και δίκτυα GNSS
9. Ο ποιοτικός έλεγχος των γεωδαιτικών δικτύων
   1. Μοντέλο συνόρθωσης, εσωτερική ακρίβεια και αξιοπιστία
   2. O έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης
   3. Έλεγχος αξιοπιστίας
   4. Έλεγχος εσωτερικής ακρίβειας
   5. Προβλήματα σχεδιασμού και βελτιστοποίησης δικτύων
10. Λυμένα προβλήματα και Εφαρμογές
    1. Μετατροπή μεταξύ γεωδαιτικών ελλειψοειδών και καρτεσιανών συντεταγμένων: (λ, φ, h) « (X, Y, Z)
    2. Μήκος τόξου μεσημβρινού
    3. Το ευθύ πρόβλημα στο ελλειψοειδές
    4. Το αντίστροφο πρόβλημα στο ελλειψοειδές
    5. Απεικόνιση Hatt
    6. Απεικόνιση ΤΜ3
    7. Απεικόνιση ΤΜ87
    8. Απεικόνση UTM
    9. Αλλαγή datum με παράλληλη μετάθεση
    10. Αλλαγή προβολικού συστήματος στο ίδιο datum: Ηatt ® TM3
    11. Βέλτιστη προσαρμογή μεταξύ δύο προβολικών συστημάτων στο ίδιο datum: Εφαρμογή Ηatt ® TM3 για την Ελλάδα
    12. Βέλτιστη προσαρμογή μεταξύ δύο προβολικών συστημάτων με διαφορετικό datum: Εφαρμογή Ηatt ® TM87
    13. Μετασχηματισμός συντεταγμένων GPS (WGS84/ITRF) σε προβολικές συντεταγμένες ΤΜ87 (ΕΓΣΑ87) – ένταξη δικτύου GPS
    14. Αναγωγή κεκλιμένων αποστάσεων για τη συνόρθωση τριπλευρικού δικτύου στο προβολικό επίπεδο ΤΜ87/ΕΓΣΑ87
    15. Αναγωγή μετρηθείσης κεκλιμένης απόστασης με ΕDM σε κεκλιμένη απόσταση που ορίζεται από τα σημεία εδάφους
    16. Πλευρική πολλαπλή οπισθοτομία στο προβολικό επίπεδο TM87
    17. Προβολικά συστήματα Hatt και ΤΜ87
    18. Εμβαδόν στο οριζόντιο και στο προβολικό επίπεδο
    19. Προβολικά συστήματα και αναγωγές
    20. Προβολικά συστήματα και αναγωγές – χάραξη
    21. Απλή πλευρική εμπροσθοτομία στo προβολικό επίπεδο Hatt
    22. Αναγωγή διεύθυνσης στο προβολικό επίπεδο ΤΜ
    23. Αναγωγή αστρονομικού αζιμουθίου
    24. Συνόρθωση δικτύου GPS και ποιοτικός έλεγχος

Παράρτημα Α: Πίνακες HATT
Παράρτημα Β: Στατιστικοί Πίνακες

• Τυπική κανονική κατανομή
• Εκατοστιαία σημεία της κατανομής t (Student)
• Εκατοστιαία σημεία της κατανομής χ²
• Εκατοστιαία σημεία της κατανομής F