Ολοκληρωτικός Λογισμός, Tόμος I

Το βιβλίο αυτό περιέχει την ύλη του εξαμηνιαίου μαθήματος «Ολοκληρωτικός Λογισμός Ι» που διδάσκεται στους φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών του Αριστοτέλειου Πανεπιστήμιου Θεσσαλονίκης και είναι συνέχεια του βιβλίου «Διαφορικός Λογισμός Ι» των ίδιων συγγραφέων.
Στο Κεφάλαιο 1 με τίτλο «Το ορισμένο ολοκλήρωμα» ορίζεται αρχικά η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος και διαπιστώνεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη.
Στη συνέχεια αποδεικνύονται οι ιδιότητες των ορισμένων ολοκληρωμάτων και τα δύο Θεωρήματα της μέσης τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού και τέλος εισάγεται η έννοια της αντιπαραγώγου και αναφέρονται τα δύο Θεμελιώδη Θεωρήματα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.
Στο Κεφάλαιο 2 με τίτλο «Το αόριστο ολοκλήρωμα» ορίζεται το αόριστο ολοκλήρωμα συνάρτησης σε διάστημα και αναπτύσσονται δύο βασικές μέθοδοι υπολογισμού αόριστων ολοκληρωμάτων, η μέθοδος της αντικατάστασης και η μέθοδος της παραγοντικής ολοκλήρωσης.
Ακολουθεί η συστηματική μελέτη του τρόπου υπολογισμού αόριστων ολοκληρωμάτων. Για το σκοπό αυτό αναφέρονται μέθοδοι υπολογισμού ολοκληρωμάτων ρητών συναρτήσεων, συναρτήσεων που περιέχουν ρίζες, τριγωνομετρικών συναρτήσεων και υπερβολικών συνάρτήσεων.
Τέλος γίνεται αναφορά σε αόριστα ολοκληρώματα, τα οποία δεν εκφράζονται ως στοιχειώδεις συναρτήσεις (ελλειπτικά ολοκληρωματα).
Στο Κεφάλαιο 3 με τίτλο «Εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος» αντιμετωπίζεται το πρόβλημα του υπολογισμού εμβαδού χωρίου, μήκους καμπύλης, όγκου στερεού από περιστροφή και επιφάνειας από περιστροφή.
Στη συνέχεια εισάγεται η έννοια της καμπύλης συνάρτησης σε πολικές συντεταγμένες και υπολογίζονται το εμβαδό πολικού τομέα και το μήκος πολικής καμπύλης.
Στο Κεφάλαιο 4 με τίτλο «Μη γνήσια ολοκληρώματα» ορίζονται οι διάφορες έννοιες μη γνήσιων ολοκληρωμάτων και αναφέρονται δύο κριτήρια σύγκλησης μη γνήσιων ολοκληρωμάτων, το κριτήριο σύγκρισης και το κριτήριο σύγκρισης του λόγου.
Στο Κεφάλαιο 5 με τίτλο «Αναπτύγματα συναρτήσεων σε δυναμοσειρές» διαπιστώνεται ότι οι δυναμοσειρές παραγωγίζονται και ολοκληρώνονται όρο προς όρο και επίσης ότι το ανάπτυγμα της μιας συνάρτησης σε δυναμοσειρά είναι μοναδικό.
Τέλος στο Κεφάλαιο με τίτλο «Παράρτημα» περιέχονται συμπληρώματα της ύλης, ενώ παράλληλα αποδεικνύονται και όλα τα Θεωρήματα, τα οποία αναφέρθηκαν στα προηγούμενα Κεφάλαια χωρίς απόδειξη.
Κατά τη συγγραφή του βιβλίου καταβλήθηκε ιδιαίτερη προσπάθεια για την όσο το δυνατό πιο απλή παρουσίαση του κειμένου. Επίσης για να διευκολυνθεί η καλύτερη κατανόηση του κειμένου υπάρχουν πολλά Παραδείγματα και Παρατηρήσεις.

Περιεχόμενα

1. Το ορισμένο ολοκλήρωμα
   • Ορισμός της έννοιας του ορισμένου ολοκληρώματος
   • Θεωρήματα ύπαρξης ορισμένου ολοκληρώματος
   • Ιδιότητες ορισμένων ολοκληρωμάτων
   • Θεωρήματα μέσης τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού
   • Αντιπαράγωγοι και ορισμένα ολοκληρώματα
   • Μέθοδος της αντικατάστασης και μέθοδος της παραγοντικής ολοκλήρωσης
2. Το αόριστο ολοκλήρωμα
   • Αντιπαράγωγοι και αόριστο ολοκλήρωμα
   • Ιδιότητες αόριστων ολοκληρωμάτων
   • Μέθοδος της αντικατάστασης
   • Ολοκλήρωση κατά παράγοντες
   • Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων
   • Αναγωγή σε ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων
   • Ελλειπτικά ολοκληρώματα
3. Εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος
   • Εμβαδό χωρίου
   • Μήκος καμπύλης
   • Όγκος στερεών από περιστροφή και εμβαδό επιφανειών από περιστροφή
   • Καμπύλες συναρτήσεων σε πολικές συντεταγμένες. Εμβαδό τομέα. Μήκος τόξου
4. Μη γνήσια ολοκληρώματα
   • Ολοκληρώματα με άπειρα όρια ολοκλήρωσης
   • Ολοκληρώματα μη φραγμένων συναρτήσεων
   • Μικτά μη γνήσια ολοκληρώματα και μη γνήσια ολοκληρώματα συναρτήσεων που έχουν πεπερασμένου πλήθους ανώμαλα σημεία για την ολοκλήρωση σε διάστημα Ι
   • Aπόλυτη σύγκλιση μη γνήσιων ολοκληρωμάτων και γενίκευση του δεύτερου θεμελιώδους Θεωρήματος του Ολοκληρωτικού Λογισμού
   • Μη γνήσια ολοκληρώματα μη αρνητικών συναρτήσεων
   • Κριτήρια σύγκλισης
5. Αναπτύγματα συναρτήσεων σε δυναμοσειρές
   5.1. Παραγώγιση και ολοκλήρωση δυναμοσειρών
6. Παράρτημα
   • Το ορισμένο ολοκλήρωμα. Απόδειξη του Θεωρήματος του Darboux
   • Eφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος
   • Παραγώγιση και ολοκλήρωση δυναμοσειρών
   • Αποδείξεις των Θεωρημάτων Ι και ΙΙ της 5.1