Ανάλυση, Τόμος Ι

Η αυξανομένη σημασία των Μαθηματικών στο σύγχρονο κόσμο κατοπτρίζεται έντονα στο ενδιαφέρον των επιστημόνων να εισάγουν όλο και περισσότερα Μαθηματικά στα προγράμματα σπουδών τους και να μαθηματικοποιήσουν την επιστήμη τους. Κατά το τελευταίο τέταρτο του 20ου αιώνα οι θετικές επιστήμες παρουσίασαν μια εντυπωσιακή ανάπτυξη, σε έκταση και βάθος. Οι μαθηματικές τεχνικές έχουν διεισδύσει σε επιστημονικές περιοχές εκτός της μαθηματικής Επιστήμης, όπως π.χ. στη Φυσική, στην Τεχνολογία, στη Βιολογία, στην Οικονομία και στις Κοινωνικές Επιστήμες. Ηλεκτρονικοί υπολογιστές και υπολογιστικές τεχνικές δίνουν ερευνητικά ερεθίσματα σε περιοχές, των οποίων η σημασία για τα ίδια τα Μαθηματικά και για άλλες Επιστήμες είναι πολύ μεγάλη. Έτσι σήμερα μπορούμε να πούμε ότι η υψηλή Τεχνολογία είναι μαθηματική Τεχνολογία και ως εκ τούτου δεν μπορεί να υπάρξει σημαντική Τεχνολογική εξέλιξη χωρίς τη βαθύτερη γνώση των Μαθηματικών.
Το βιβλίο αυτό περιλαμβάνει την ύλη της Μαθηματικής Ανάλυσης που διδάσκεται στα πρώτα εξάμηνα των Μαθηματικών και Τεχνολογικών Τμημάτων των Πανεπιστημίων και των Πολυτεχνείων. Το βιβλίο απευθύνεται επίσης και στους πτυχιούχους των Τμημάτων αυτών που ασκούν ήδη το επάγγελμά τους, γιατί αποτελεί ένα χρήσιμο βιβλίο αναφοράς.
Στην παρούσα νέα έκδοση έχουν παρατεθεί οι λύσεις και οι υποδείξεις λύσεων πολλών ασκήσεων του βιβλίου, με σχόλια και παρατηρήσεις, καθώς και συμπληρωματικές ασκήσεις και παρατηρήσεις-προτάσεις που επιτρέπουν στον μελετητή (σπουδαστή και χρήστη) να επεκτείνει τις δυνατότητές του στην καλύτερη κατανόηση της ύλης, των πιθανών εφαρμογών της και τις εξελίξεις της σύγχρονης Τεχνολογίας και Επιστήμης.
Σε όλο το βιβλίο όταν χρησιμοποιούμε σχέσεις, προτάσεις και έννοιες που είναι γνωστές από το Λύκειο δεν τις σχολιάζουμε, εφόσον θεωρούμε ότι οι σχολικές γνώσεις είναι ικανοποιητικές. Παραθέτουμε πολλά λυμένα παραδείγματα, που η γνώση τους είναι απαραίτητη για την κατανόηση της ύλης. Ορισμένα από αυτά θα μπορούσαν να αποτελούν προτάσεις ή πορίσματα στο αντίστοιχο κεφαλαίο. Πολλές ασκήσεις αποτελούν σημαντικό στοιχείο της ύλης του βιβλίου και γι’ αυτό, όταν είναι απαραίτητο, θα παραπέμπουμε σ’ αυτές. Στο τέλος των κεφαλαίων (2, 3, 10 και 11) υπάρχουν παραρτήματα (με σκιασμένο περιθώριο), όπου παρατίθενται αποδείξεις και σχόλια, που θεωρούμε ότι δεν είναι απαραίτητα σε πρώτη ανάγνωση και ενδιαφέρουν εκείνους που θα ήθελαν να εμβαθύνουν στα περιεχόμενα του αντίστοιχου κεφαλαίου.
Στο Κεφ. 1 παραθέτουμε συνοπτικά στοιχεία της Θεωρίας Συνόλων, της Μαθηματικής Λογικής και της έννοιας της απεικονίσεως με στόχο να δώσουμε τους “κανόνες επικοινωνίας” που διέπουν την παρουσίαση της ύλης.
Στο Κεφ. 2 παραθέτουμε τα θεμέλια πάνω στα οποία στηρίζεται η Ανάλυση, όπως το σύστημα των αξιωμάτων των πραγματικών αριθμών. Θεωρούμε δεδομένη την ύπαρξη του συνόλου R των πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με πράξεις και ιδιότητες, τις οποίες παρουσιάζουμε με τη μορφή τριών αξιωμάτων, “του αξιώματος πεδίου”, “του αξιώματος διατάξεως” και “του αξιώματος του ελαχίστου άνω φράγματος” η “αξίωμα της πλήρους διατάξεως”. Το τελευταίο αξίωμα εφοδιάζει τους πραγματικούς αριθμούς με την κατάλληλη τοπολογική δομή.
Οι ακολουθίες πραγματικών αριθμών παρουσιάζονται στο Κεφ. 3, όπου ορίζονται οι δυνάμεις με πραγματικούς εκθέτες και οι λογάριθμοι. Παρατίθενται οι έννοιες και οι ιδιότητες του κατωτέρου και ανωτέρου ορίου μιας ακολουθίας. Έναν εκτεταμένο σχολιασμό και αποδείξεις των ορίων αυτών παραθέτουμε στο παράρτημα.
Στο Κεφ. 4 σχολιάζουμε την έννοια και τις ιδιότητες των πραγματικών συναρτήσεων, όπου παραθέτουμε τις γραφικές παραστάσεις στοιχειωδών συναρτήσεων. Τα όρια πραγματικών συναρτήσεων και η συνέχεια τους μελετώνται στα Κεφ. 5 & 6 και με αναφορά στις ακολουθίες. Παραθέτουμε επίσης πίνακα (§5.5) των ορίων βασικών συναρτήσεων.
Εκτεταμένη μελέτη των παραγώγων, των θεμελιωδών θεωρημάτων, των συνεπειών τους και των εφαρμογών του Διαφορικού Λογισμού (θεωρήματα Rolle και μέσης τιμής, ακρότατα συναρτήσεως, γενικευμένη ανισότητα Bernoulli, Ανισότητα Ηölder, θεώρημα Darboux, Τύπος Taylor και θεώρημα Taylor) παρατίθεται στα Κεφ. 7, 8 & 9.
Στο Κεφ. 10 (Ορισμένο Ολοκλήρωμα-Ολοκλήρωμα Riemann) παραθέτουμε μια στοιχειώδη Θεωρία Μέτρου για να διευκολύνουμε την κατανόηση των εφαρμογών του Ολοκληρωτικού Λογισμού αλλά και να τονίσουμε την συνεισφορά του Ευδόξου και του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Αναλύσεως. Το κριτήριο ολοκληρωσιμότητας του Lebesgue παρατίθεται (με απόδειξη στο παράρτημα) για να συνδεθεί το Ορισμένο Ολοκλήρωμα με τη γενική θεωρία Μέτρου και Ολοκληρώσεως. Οι μέθοδοι ολοκληρώσεως και τα Ολοκληρώματα που εξαρτώνται από παράμετρο κλείνουν το κεφαλαίο αυτό. Οι εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος (εμβαδόν, μήκος τόξου καμπύλης, εμβαδόν επιφανείας και όγκος από περιστροφή, κέντρο βάρους και έργο δυνάμεως) περιλαμβάνονται στο Κεφ. 11.
Μια ολοκληρωμένη ανάπτυξη των σειρών πραγματικών αριθμών παρατίθεται στο Κεφ. 12 και στο Κεφ. 13 η ανάπτυξη των ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων. Μια πλήρης ανάπτυξη των δυναμοσειρών παρατίθεται στο Κεφ. 14.
Το τελευταίο κεφάλαιο (Κεφ. 15) περιλαμβάνει τα γενικευμένα ολοκληρώματα.
Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν πίνακες των παραγωγών 1ης τάξεως στοιχειωδών συναρτήσεων, των παραγώγων ν-οστής τάξεως ορισμένων συναρτήσεων, των αορίστων ολοκληρωμάτων συναρτήσεων που μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια των μεθόδων ολοκληρώσεως, των ορισμένων ολοκληρωμάτων μερικών συναρτήσεων και των αναπτυγμάτων συναρτήσεων σε δυναμοσειρές.

Περιεχόμενα

Kεφάλαιο 1: ΣΥΝΟΛΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ & ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

1. Σύνολα
2. Μαθηματική Λογική
3. Η έννοια της απεικονίσεως
   Ασκήσεις

Kεφάλαιο 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά
1. Φυσικοί αριθμοί
2. Αξιώματα πεδίου και διατάξεως των πραγματικών αριθμών
3. Αξιώμα του ελαχίστου άνω φράγματος
4. Η αρχή του εγκλωβισμού
5. Η τοπολογική δομή του R
6. Σημαντικές ανισότητες
   Ασκήσεις
   Παράρτημα

Kεφάλαιο 3: ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

1. Γενικά-Ορισμοί
2. Συγκλίνουσες ακολουθίες
3. Πράξεις μεταξύ συγκλινουσών ακολουθιών
4. Αποκλίνουσες ακολουθίες
5. Χαρακτηριστικά παραδείγματα ακολουθιών
6. Δυνάμεις με πραγματικούς εκθέτες – Λογάριθμοι
7. Αναδιάταξη ακολουθιών
8. Ειδικά παραδείγματα ακολουθιών
9. Πράξεις και δυνάμεις στο σύνολο Rw
10. Κατώτερο και ανώτερο όριο ακολουθίας
    Ασκήσεις
    Παράρτημα

Kεφάλαιο 4: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

1. Γενικά
2. Πράξεις μεταξύ συναρτήσεων
   Ασκήσεις

Kεφάλαιο 5: ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

1. H έννοια του ορίου
2. Κριτήριο μη-υπαρξεως του ορίου
3. Μελέτη του ορίου συναρτήσεως με ακολουθίες
4. Πλευρικά όρια
5. Ιδιότητες των ορίων – Τοπική συμπεριφορά
6. Πράξεις μεταξυ ορίων
   Ασκήσεις

Kεφάλαιο 6: ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1. Γενικά – Ορισμοί
2. Μελέτη συνέχειας συναρτήσεως με ακολουθίες
3. Πράξεις μεταξυ συνεχών συναρτήσεων
4. Πλευρική συνέχεια – Σημεία ασυνέχειας
5. Τοπικη συμπεριφορά συνεχών συναρτήσεων
6. Ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων
7. Ομοιόμορφη συνέχεια
   Ασκήσεις

Kεφάλαιο 7: ΠΑΡΑΓΩΓOΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

1. Γενικά
2. Η έννοια της παραγώγου
3. Το πρόβλημα της εφαπτομένης
4. Το πρόβλημα της ταχύτητας
5. Συνάρτηση παραγώγου
6. Κανόνες παραγωγίσεως
   Ασκήσεις

Kεφάλαιο 8: ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

1. Το θέωρημα του Rolle
2. Θεωρήματα της μέσης τιμής
3. Συνέπειες των θεωρημάτων μέσης τιμής
4. Ο κανόνας de l’ Hospital
5. Τύπος του Taylor ή θεώρημα μέσης τιμής ανωτέρας τάξεως
6. Διαφορικό συναρτήσεως
7. Κυρτές συναρτήσεις
   Ασκήσεις

Kεφάλαιο 9: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

1. Τοπικά ακρότατα συναρτήσεως
2. Μελέτη της γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως
3. Προσέγγιση ριζών εξισώσεως – Μέθοδος Newton

Kεφάλαιο 10: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ – ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ RIEMANN

1. Γενικά
2. Το ορισμένο ολοκλήρωμα
3. Κριτήρια ολοκληρωσιμότητος
4. Ορισμός του ολοκληρώματος κατά Riemann
5. Οι κλάσεις ολοκληρώσιμων συναρτήσεων
6. Κριτήριο Lebesgue – Συνέπειες
7. Ιδιότητες μονοτονίας του ολοκληρώματος
8. Θεωρήματα μέσης τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού
9. Το αόριστο ολοκλήρωμα
10. Μέθοδοι ολοκληρώσεως
    Α. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες
    Β. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση
    Γ. Ολοκλήρωση με αναγωγικούς τύπους
    Δ. Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων
    Ε. Ολοκληρώματα που ανάγονται σε ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων
    Ζ. Διωνυμικά ολοκληρώματα
    Η. Ειδικές μορφές ολοκληρωμάτων
11. Ολοκληρώματα που εξαρτώνται από παράμετρο
    Ασκήσεις
    Παράρτημα

Kεφάλαιο 11: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

1. Εμβαδόν επίπεδου χωρίου
2. Εμβαδόν χωρίου σε πολικές συντεταγμένες
3. Μήκος τόξου καμπύλης
4. Εμβαδόν επιφάνειας από περιστροφή
5. Όγκος σωμάτων από περιστροφή
6. Κέντρο βάρους (-μάζας)
7. Έργο δυνάμεως
   Ασκήσεις
   Παράρτημα

Kεφάλαιο 12: ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

1. Η έννοια της σειράς – Σύγκλιση σειρών
2. Σειρές μη αρνητικών όρων
3. Το ολοκληρωτικό κριτήριο
4. Εναλλάσσουσες σειρές
5. Σειρές απολύτως συγκλίνουσες
6. Κριτήρια συγκλίσεως σειρών μη αρνητικών όρων
7. Γινόμενο Cauchy
8. Χαρακτηριστικές ανισότητες μεταξύ σειρών
   Ασκήσεις

Kεφάλαιο 13: ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

1. Γενικά – Ορισμοί
2. Κριτήρια ομοιόμορφης συγκλίσεως
3. Συνέπειες της ομοιόμορφης συγκλίσεως ακολουθίας
4. Σειρές συναρτήσεων
5. Ομοιόμορφη σύγκλιση σειράς συναρτήσεων
6. Συνέπειες της ομοιόμορφης συγκλίσεως σειράς
7. Τριγωνομετρικές σειρές
   Ασκήσεις

Kεφάλαιο 14: ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ

1. Ακτίνα και διάστημα συγκλίσεως
2. Συνέπειες της ομοιόμορφης συγκλίσεως
3. Πράξεις με δυναμοσειρές
4. Σειρές Taylor και MacLaurin
5. Ειδικά θεωρήματα: Θεώρημα Abel – Θεώρημα Tauber
6. H διωνυμική σειρά
   Ασκήσεις

Kεφάλαιο 15: ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

1. Γενικευμένα ολοκληρώματα σε μη φραγμένα διαστήματα
2. Γενικευμένα ολοκληρώματα μη φραγμένων συναρτήσεων
   Ασκήσεις

ΛΥΣΕΙΣ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΛΥΣΕΩΝ, ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΠINAKEΣ
BIBΛIOΓPAΦIA
EYPETHPIO ONOMATΩN
ΛHMMATOΛOΓIO