Συντεταγμένες και Συστήματα Αναφοράς

Οι σημερινές τεχνικές δυνατότητες, για γρήγορους και εκτεταμένους υπολογισμούς, έδωσαν τεράστια ώθηση στις εφαρμοσμένες επιστήμες, παρά τις όποιες ενστάσεις για την ενδεχόμενη κατάχρηση τους. Σε κάθε υπολογισμό, τόσο τα εισαγόμενα, όσο και τα εξαγόμενα στοιχεία, είναι αριθμοί, οι οποίοι αντιπροσωπεύουν στοιχεία της φυσικής πραγματικότητας, με τη βοήθεια συγκεκριμένων φυσικών και μαθηματικών μοντέλων. Επομένως, για να υπάρξουν εφαρμοσμένες επιστήμες (τουλάχιστον στις περιοχές των θετικών επιστημών και της μηχανικής, αλλά και στις ανθρωπιστικές επιστήμες μέχρι ένα βαθμό) είναι ανάγκη να «αριθμοποιήσουμε», να παραστήσουμε δηλαδή με αριθμούς, στοιχεία των μοντέλων που περιγράφουν φυσικά φαινόμενα. Πρώτα απ’ όλα, τα σημεία του χώρου, όπου συμβαίνουν τα φαινόμενα αυτά, πρέπει να παρασταθούν από αριθμούς, που ονομάζουμε «συντεταγμένες». Φυσικά μεγέθη που εμφανίζονται σε σημεία του χώρου, τα οποία εκτός από μέγεθος έχουν επιπλέον διεύθυνση και φορά, τα διανυσματικά δηλαδή μεγέθη, πρέπει να παρασταθούν από αριθμούς, με τη βοήθεια ενός τοπικού «συστήματος αναφοράς», τριών δηλαδή διανυσμάτων, ο γραμμικός συνδυασμός των οποίων, με κατάλληλους συντελεστές, αναπαράγει το ζητούμενο διάνυσμα, το οποίο και παριστάνεται πλέον από τις τιμές των συντελεστών, που ονομάζουμε «συνιστώσες».
Στους Ευκλείδειους χώρους και στα πλαίσια της Νευτώνειας μηχανικής, αρκεί να εισάγουμε ένα μόνο σύστημα αναφοράς, το οποίο μπορούμε να μεταθέσουμε παράλληλα σε όποιο σημείο επιθυμούμε, με τη βοήθεια του οποίου προκύπτει και το πλέον εύχρηστο είδος συντεταγμένων, οι καρτεσιανές συντεταγμένες. Επομένως η μελέτη των διαφόρων ειδών συντεταγμένων και των συστημάτων αναφοράς είναι θεμελιώδης ανάγκη σε κάθε κλάδο των εφαρμοσμένων επιστημών.
Παράλληλα όμως, η έννοια του συστήματος αναφοράς μπορεί να γενικευθεί, αν εξετάσουμε το βασικό τρόπο λειτουργίας του: τη δημιουργία ενός μαθηματικού-φυσικού αντικειμένου με τη βοήθεια γραμμικών συνδυασμών ομοειδών αντικειμένων, με συντελεστές οι οποίοι και αντιπροσωπεύουν πλέον το αντικείμενο στους υπολογισμούς. Έτσι εκτός από τα συνηθισμένα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου, μπορούμε να μιλήσουμε για το σύστημα αναφοράς για τα διανύσματα σε χώρους με περισσότερες διαστάσεις, οι οποίοι εμφανίζονται στην επίλυση γραμμικών συστημάτων, η ακόμα και για συναρτήσεις, τις οποίες μπορούμε να δούμε σαν διανύσματα σε χώρους άπειρων διαστάσεων.
Αρχικός πυρήνας για τη συγγραφή του παρόντος βιβλίου, υπήρξαν οι διδακτικές σημειώσεις για τις ανάγκες ενός νέου μαθήματος με τίτλο «Συστήματα αναφοράς και χρόνου», του Τομέα Γεωδαισίας και Τοπογραφίας του Τμήματος Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών του Α.Π.Θ. Το αντικείμενο της εγκατάστασης παγκόσμιων συστημάτων αναφοράς έχει αποκτήσει τα τελευταία χρόνια τεράστιο ενδιαφέρον για τις γεωεπιστήμες και την αστρονομία. Η Διεθνής Γεωδαιτική Ένωση (IAG), ύστερα από την τελευταία αναμόρφωση της λειτουργικής δομής της, έχει αφιερώσει την πρώτη από τις τέσσερες «Επιτροπές» της στα συστήματα αναφοράς, ενώ από κοινού με τη Διεθνή Αστρονομική Ένωση (IAU) έχει δημιουργήσει μια ειδική υπηρεσία, την Διεθνή Υπηρεσία Περιστροφής της Γης και Συστημάτων Αναφοράς (IERS), που ασχολείται με την πρακτική υλοποίηση των συστημάτων αναφοράς.
Η ύλη που αναπτύσσεται εδώ, καλύπτει τόσο θεωρητικά όσο και πρακτικά ζητήματα. Στο 1ο κεφάλαιο προτάξαμε μια κριτική παρουσίαση της ιστορικής ανάπτυξης των αντιλήψεων μας πάνω στο ζήτημα του προσδιορισμού της θέσης ως προς ένα σύστημα αναφοράς, το οποίο συνδέεται τόσο με το πρόβλημα του σχήματος της γης, όσο και με τη μορφή του πεδίου βαρύτητας.
Το 2ο και 3ο κεφάλαιο περιέχουν τις απαραίτητες, για πρωτοετείς φοιτητές, έννοιες από τα μαθηματικά και τη γεωμετρία και με την ευκαιρία ξεκαθαρίζουν ορισμένες διαδεδομένες παρανοήσεις, που πηγάζουν από την αποκλειστική χρήση καρτεσιανών συντεταγμένων, οι οποίες, ενώ διευκολύνουν κατά πολύ τους υπολογισμούς, δεν μας επιτρέπουν να δούμε καθαρά τις λεπτές διαφορές ανάμεσα σε θεμελιώδεις έννοιες.
Το 4ο κεφάλαιο εξετάζει από θεωρητική σκοπιά το πρόβλημα των συστημάτων αναφοράς σε κίνηση, προετοιμάζοντας το έδαφος για την πρακτική εφαρμογή στην περίπτωση της περιστροφής της γης στο 7ο κεφάλαιο.
Επειδή, πέρα από τις σύγχρονες πρακτικές και τεχνολογικές κατακτήσεις, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε και τις μεθόδους του παρελθόντος, το μεγαλύτερο μέρος του 5ου κεφαλαίου είναι αφιερωμένο στη σύντομη παρουσίαση συστημάτων αναφοράς, που σχετίζονται με το πεδίο βαρύτητας της γης. Πέρα όμως από τις, ιστορικού μόνο πλέον ενδιαφέροντος, μεθοδολογίες που στηρίζονται στο τοπικό αστρονομικό σύστημα (κεφ. 5.5 έως 5.8), το ζήτημα των συστημάτων υψών (κεφ. 5.9) παραμένει πάντα επίκαιρο, δεδομένου ότι τα ύψη με πρακτικό ενδιαφέρον, για τις εφαρμογές, είναι τα «φυσικά» ύψη, που σχετίζονται με το πεδίο βαρύτητας της γης, και όχι τα γεωμετρικά ύψη, που σχετίζονται μόνο με το χρησιμοποιούμενο σύστημα αναφοράς.
Το 6ο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στη σχέση ανάμεσα σε ένα παγκόσμιο σύστημα, όπου η θέση ορίζεται από το γεωγραφικό μήκος και πλάτος πάνω σε ένα ελλειψοειδές μοντέλο της γης, και τις χαρτογραφικές συντεταγμένες, που χρησιμοποιούνται περισσότερο για την απόδοση της θέσης σε τοπικό-περιφερειακό ή εθνικό επίπεδο.
Στο 7ο κεφάλαιο παρουσιάζεται συστηματικά ο νέος τρόπος περιγραφής της περιστροφής της γης, σύμφωνα με σχετικές αποφάσεις της Διεθνούς Αστρονομικής Ένωσης και εξηγούνται οι βασικές αρχές στις οποίες αυτές στηρίζονται. Παράλληλα γίνεται μια σύντομη περιγραφή των διαφορικών εξισώσεων της περιστροφής και των επίγειων συστημάτων αναφοράς για την παραμορφώσιμη γη.
Το 8ο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην «τέταρτη διάσταση» της φυσικής πραγματικότητας το χρόνο. Οι διάφοροι ορισμοί του χρόνου, ξεκινώντας από τη χρήση της περιστρεφόμενης γης ως χρονομέτρου, μέχρι τα σύγχρονα εξαιρετικής ακρίβειας ατομικά ρολόγια, εξετάζονται τόσο θεωρητικά, όσο και από τη σκοπιά της πρακτικής υλοποίησης. Με την αξιοποίηση μετρήσεων πολύ μεγάλης ακρίβειας δεν μπορούν πλέον να αγνοηθούν οι προβλέψεις της θεωρίας της σχετικότητας. Γι’ αυτό, εξετάζουμε σύντομα τη σχέση ανάμεσα στον κοινό Νευτώνειο χρόνο και το χρόνο, ως μια από τις τέσσερες συντεταγμένες του αδιαχώριστου χωροχρόνου της θεωρίας της σχετικότητας.
Στο 9ο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα συστήματα αναφοράς, που χρησιμοποιούνται στην αστρονομία, με μια συστηματική σύγκριση ανάμεσα στην κλασσική περιγραφή της περιστροφής της γης, και τη νέα περιγραφή, που αποφασίστηκε από την Διεθνή Αστρονομική Ένωση το 2000 και τέθηκε σε ισχύ από την 1η Ιανουαρίου 2003.
Το 10ο κεφάλαιο περιγράφει αναλυτικά την υλοποίηση, από την IERS, των νέων συμβάσεων σχετικά με τα συστήματα αναφοράς και τα προγράμματα υπολογιστή που είναι διαθέσιμα για τους μετασχηματισμούς από το «Διεθνές Ουράνιο» στο «Διεθνές Επίγειο» σύστημα αναφοράς.
Στο 11ο κεφάλαιο εξετάζονται τα συστήματα αναφοράς που σχετίζονται με τις δορυφορικές τροχιές και ιδιαίτερα εκείνα που εμφανίζονται στην ανάλυση των παρατηρήσεων του Παγκόσμιου Συστήματος Προσδιορισμού Θέσης (GPS).
Τα τελευταία 4 κεφάλαια, τα οποία είναι αφιερωμένα σε γενικεύσεις της συνηθισμένης έννοιας του συστήματος αναφοράς, έχουν περισσότερο μαθηματικό χαρακτήρα, αλλά επικεντρώνονται σε αποτελέσματα με ενδιαφέρον στις εφαρμογές. Το 12ο κεφάλαιο εξετάζει το πρόβλημα της λύσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων και την απλοποίηση της με τη χρησιμοποίηση περισσότερο αποτελεσματικών συστημάτων αναφοράς, τόσο για τις άγνωστες παραμέτρους όσο και για τις παρατηρήσεις που δίνουν τους σταθερούς όρους του συστήματος.
Το 13ο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στο πρόβλημα του συστήματος αναφοράς για την παράσταση συναρτήσεων, ή στις «συναρτήσεις βάσης» όπως έχει καθιερωθεί να λέγονται. Ξεκινώντας από απλά πολυώνυμα, εξετάζονται οι συναρτήσεις σε ένα διάστημα, οι οποίες μπορούν να αναπτυχθούν σε σειρά Fourier, καθώς και η αντίστοιχη περίπτωση συναρτήσεων που ορίζονται στην επιφάνεια μιας σφαίρας, των οποίων τα αναπτύγματα σε σειρά σφαιρικών αρμονικών έχουν ιδιαίτερη σημασία για τις γεωεπιστήμες.
Ο κύριος ρόλος των διαφόρων ειδών μη καρτεσιανών (καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων είναι η ανάλυση φυσικών προβλημάτων, τα οποία μοντελοποιούνται μέσα από διαφορικές εξισώσεις. Για το λόγο αυτό, το τελευταίο 15ο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στον διαφορικό και διανυσματικό λογισμό, όταν χρησιμοποιούνται διάφορα κατάλληλα, κατά περίπτωση, συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων. Έγινε ιδιαίτερη προσπάθεια να αναδειχθούν τα σημαντικά σημεία της σχετικής ύλης, τα οποία «εξαφανίζονται» κάτω από τις απλοποιήσεις που προκύπτουν από τη χρήση καρτεσιανών συντεταγμένων.
Όμως μια «ακριβής» (αν και όχι μαθηματικά αυστηρή) έκθεση των σχετικών εννοιών, χωρίς ασάφειες και σκοτεινά σημεία, απαιτεί κάποια βασικά στοιχεία από τον τανυστικό λογισμό, τα οποία και προτάξαμε στο 14ο κεφάλαιο.
Κύριος στόχος του παρόντος συγγράμματος δεν είναι η κάλυψη των εκπαιδευτικών αναγκών ενός συγκεκριμένου μαθήματος, αλλά η δημιουργία ενός βασικού κειμένου αναφοράς, που ελπίζω ότι θα φανεί χρήσιμο σε όσους αγαπούν τη γνώση και έχουν τη διάθεση να της αφιερώσουν την απαραίτητη μελέτη.

Περιεχόμενα

Kεφάλαιο 1: Εισαγωγή

1. Ο χώρος και ο χρόνος στις φυσικές επιστήμες
2. Η μέτρηση του χρόνου
3. Μετρήσεις στο χώρο. Από την γεωμετρία στη γεωδαισία
4. Μετρήσεις στο χώρο. Σχήμα και θέση
5. Εξέλιξη των μαθηματικών μοντέλων για το σχήμα της γης και το πεδίο βαρύτητας
6. Η γεωδαισία στην διαστημική εποχή

Κεφάλαιο 2: Βασικές Έννοιες

1. Γεωμετρικές και αναλυτικές μέθοδοι στα μαθηματικά
2. Συστήματα συντεταγμένων και τοπικά διανυσματικά συστήματα αναφοράς
3. Συστήματα συντεταγμένων και αναφοράς στον ευκλείδειο χώρο
4. Σχέσεις μεταξύ δύο διαφορετικών συστημάτων αναφοράς
5. Περιγραφή του πίνακα στροφής. Στροφές γύρω από τους άξονες
6. Γεωμετρική σημασία των γωνιών στροφής γύρω από τους άξονες
7. Μιγαδικοί αριθμοί και στροφή στο επίπεδο

Kεφάλαιο 3: Συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων

1. Γενικά χαρακτηριστικά
2. Σφαιρικές συντεταγμένες
3. Κυλινδρικές συντεταγμένες
4. Γεωδαιτικές συντεταγμένες
5. Ελλειψοειδείς συντεταγμένες
6. Ολοκληρώματα ως προς καμπυλόγραμμες συντεταγμένες
   Παράρτημα 3A: Σχέση μεταξύ καρτεσιανών και γεωδαιτικών συντεταγμένων

Kεφάλαιο 4: Συστήματα αναφοράς σε κίνηση

1. Αδρανειακά και επιταχυνόμενα συστήματα αναφοράς
2. Ψευτοδυνάμεις σε ένα επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς
3. Η περιστροφική κίνηση ενός στερεού σώματος
4. Το διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής
5. Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler
6. Συστήματα αναφοράς για παραμορφώσιμα σώματα

Kεφάλαιο 5: Το πεδίο βαρύτητας της γης

1. Δύναμη έλξης και δυναμικό έλξης
2. Φυγόκεντρη δύναμη και βαρύτητα
3. Γεωμετρικά χαρακτηριστικά του πεδίου βαρύτητας
4. Προσδιορισμός του πεδίου βαρύτητας
5. Το τοπικό αστρονομικό σύστημα αναφοράς
6. Το τοπικό γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς
7. Αναγωγή από τον άξονα περιστροφής στο επίγειο σύστημα αναφοράς
8. Μετασχηματισμοί από το τοπικό αστρονομικό στο τοπικό γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς
9. Συστήματα υψών

Kεφάλαιο 6: Γεωδαιτικό datum και δίκτυα

1. Γεωδαιτικές συντεταγμένες και γεωδαιτικό datum
2. Χαρτογραφικές προβολές
3. Το πρόβλημα της αλλαγής κλίμακας
4. Ο προσδιορισμός των παραμέτρων μετασχηματισμού μεταξύ δύο συστημάτων αναφοράς για το ίδιο δίκτυο
5. Το διαχρονικό σύστημα αναφοράς για δίκτυα σημείων

Kεφάλαιο 7: Συστήματα αναφοράς για την περιστρεφόμενη γη

1. Μετάπτωση – κλόνιση, ημερήσια περιστροφή και κίνηση του πόλου
2. Συστήματα αναφοράς με τον τρίτο άξονα στην κατεύθυνση του διανύσματος περιστροφής
3. Η περιστροφή της γης
   Παράρτημα 7Α: Προσδιορισμός της μη περιστρεφόμενης αρχής (NRO)

Kεφάλαιο 8: Συστήματα χρόνου

1. Nευτώνειος και σχετικιστικός χρόνος
2. Αστρικός και παγκόσμιος χρόνος
3. Δυναμικός χρόνος
4. Ατομικός χρόνος
5. Ο ρόλος της θεωρίας της σχετικότητας

Kεφάλαιο 9: Συστήματα αναφοράς για την περιγραφή διευθύνσεων στην αστρονομία

1. Οριζόντιο σύστημα, σύστημα ωριαίας γωνίας, σύστημα ορθής αναφοράς και εκλειπτικό σύστημα
2. Σχέσεις μετατροπής μεταξύ των αστρονομικών συστημάτων
3. Κλασσική περιγραφή της περιστροφής της γης στην αστρονομία
4. Αστρογεωδαιτικές μέθοδοι προσδιορισμού του αστρονομικού μήκους και πλάτους
   Παράρτημα 9A: Σφαιρική τριγωνομετρία

Kεφάλαιο 10: Η υλοποίηση των συστημάτων αναφοράς από την IERS

1. Ορισμός και υλοποίηση των συστημάτων αναφοράς από την IERS
2. Υπολογισμός της μετάπτωσης και κλόνισης
3. Υπολογισμός της κίνησης του πόλου
4. Υπολογισμός της ημερήσιας περιστροφής
5. Υπολογισμοί για την κλασσική αστρονομική περιγραφή
6. Υπορουτίνες για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού από το ουράνιο στο επίγειο σύστημα

Kεφάλαιο 11: Συστήματα αναφοράς στη γεωδαισία δορυφόρων

1. Οι νόμοι του Kepler
2. Η κίνηση στο επίπεδο της τροχιάς
3. Η έλλειψη του Kepler στο χώρο
4. Περιγραφή των τροχιών των δορυφόρων στο παγκόσμιο σύστημα θέσης GPS
   Παράρτημα 11Α: Το Παγκόσμιο Γεωδαιτικό Σύστημα WGS 84

Kεφάλαιο 12: Συστήματα αναφοράς και γραμμικές εξισώσεις

1. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
2. Γεωμετρικός προσδιορισμός των λύσεων ελαχίστων τετραγώνων και ελάχιστης νόρμας
3. Μεταβολή του συστήματος αναφοράς στο χώρο των αγνώστων και των παρατηρήσεων
4. Ανάλυση μοναδικών τιμών
5. Ο ρόλος του συστήματος αναφοράς του Ευκλείδειου χώρου στις γραμμικές εξισώσεις της ανάλυσης δικτύων ελέγχου

Kεφάλαιο 13: Συστήματα αναφοράς σε χώρους συναρτήσεων

1. Μη ορθογώνιες βάσεις στον Ευκλείδειο χώρο
2. Χώροι πολυωνυμικών συναρτήσεων
3. Βέλτιστη προσέγγιση συνάρτησης με πολυώνυμο
4. Ανάπτυγμα συνάρτησης σε σειρά Fourier
5. Σφαιρικές αρμονικές

Kεφάλαιο 14: Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες και τανυστικός λογισμός

1. Διανύσματα και γραμμικές μορφές
2. Τανυστές
3. Το εσωτερικό γινόμενο και ο μετρικός τανυστής
4. Συστολή
5. Μεταβολή των συνιστωσών τανυστών
6. Συμμετρικοί και αντισυμμετρικοί τανυστές
7. Το μικτό γινόμενο διανυσμάτων και ο τανυστής όγκου
8. Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων
9. Αντιστοιχία διανυσμάτων και διγραμμικών αντισυμμετρικών μορφών (δυϊσμός όγκου)

Kεφάλαιο 15: Διαφορικός λογισμός και διανυσματική ανάλυση με καμπυλόγραμμες συντεταγμένες

1. Τανυστικά πεδία και διαφορικός λογισμός στον Ευκλείδειο χώρο
2. Παράγωγος διανύσματος κατά μήκος καμπύλης γραμμής
3. Παραγώγιση κατά μήκος καμπύλης και ως προς διάνυσμα
4. Συμμεταβλητές παράγωγοι και σύνδεση
5. Διανυσματική ανάλυση
6. Εφαρμογές σε ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες