Η εισαγωγή στη θεωρία του δυναμικού απευθύνεται στους φοιτητές και φοιτήτριες των προπτυχιακών και μεταπτυχιακών Τμημάτων Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης (ΑΠΘ), του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου (ΕΜΠ) και άλλων συναφών Τμημάτων των ΑΕΙ και έχει στόχο την υποστήριξη των γνωστικών αντικειμένων τα οποία ασχολούνται με τη μελέτη του πεδίου βαρύτητας.
Η έκδοση αυτή αποτελεί τη συνέχεια της προσπάθειας για ένα βοήθημα, το οποίο να χρησιμεύει ως θεωρητικό υπόβαθρο για τη μελέτη του πεδίου βαρύτητας. Η ύλη της προηγούμενης έκδοσης έχει συμπληρωθεί από παραδείγματα και εφαρμογές σχεδόν σε όλα τα κεφάλαια και, εκτός από μια σύντομη ιστορική αναδρομή, έχει προστεθεί ένα νέο κεφάλαιο, το οποίο έχει σχέση με την υλοποίηση των ολοκληρωματικών τύπων.
Η ύλη διαιρείται σε οκτώ μέρη. Μετά από την ιστορική αναδρομή του πρώτου μέρους, στο δεύτερο μέρος γίνεται μια επανάληψη του Διανυσματικού Λογισμού, με έμφαση στις ιδιότητες του τελεστή anadelta και στη φυσική σημασία της εφαρμογής του σε βαθμωτές και διανυσματικές συναρτήσεις. Στο ίδιο μέρος περιλαμβάνονται οι ταυτότητες του Gauss,του Green και το θεώρημα του Stokes.
Οι ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες εξετάζονται στο τρίτο μέρος, το οποίο μετά από τα γενικά εστιάζεται στη μελέτη των τριών ειδικών ορθογώνιων καμπυλόγραμμων συντεταγμένων, οι οποίες είναι περισσότερο χρήσιμες στις εφαρμογές, δηλαδή των κυλινδρικών, οι οποίες είναι χρήσιμες π.χ. στην αναγωγή του πεδίου βαρύτητας σε ορισμένο ύψος επάνω από την επιφάνεια αναφοράς, των σφαιρικών, οι οποίες βρίσκουν ευρεία εφαρμογή σε όλες τις περιπτώσεις σφαιρικής προσέγγισης του πεδίου βαρύτητας, και των ελλειψοειδών, οι οποίες είναι απαραίτητες στη δημιουργία μοντέλων βαρύτητας.
Η εισαγωγή στη θεωρία του δυναμικού γίνεται στα υπόλοιπα πέντε μέρη. Συγκεκριμένα, στο τέταρτο μέρος εξετάζεται η ελκτική δύναμη ανάμεσα στις μάζες για σημειακή κατανομή, πεπερασμένο αριθμό σημειακών μαζών, για συνεχή κατανομή μάζας στο χώρο και για κατανομή απλού και διπλού στρώματος. Εισάγεται η έννοια του δυναμικού και εξετάζονται οι ιδιότητες του δυναμικού και της έλξης στο χώρο έξω από τις μάζες.
Στο πέμπτο μέρος γίνεται προσπάθεια ερμηνείας των ολοκληρωματικών τύπων της θεωρίας του δυναμικού και εξετάζονται οι ιδιότητες του δυναμικού και των παραγώγων του πρώτης και δεύτερης τάξης για τις ίδιες κατανομές μάζας, που αναφέρθηκαν προηγουμένως, στο χώρο μέσα στις μάζες ή επάνω στην επιφάνεια που τις περικλείει.
Στο έκτο μέρος αναλύεται η διαδικασία ανάπτυξης του δυναμικού σε σειρά σφαιρικών και ελλειψοειδών αρμονικών συναρτήσεων. Με αφετηρία την ανάπτυξη του αντιστρόφου της απόστασης μεταξύ δύο σημείων σε σειρά δυνάμεων γίνεται παρουσίαση των σφαιρικών αρμονικών ως λύσεων της εξίσωσης του Laplace και της ανάπτυξης σε σειρά σφαιρικών αρμονικών. Παρουσιάζονται τύποι για τον υπολογισμό πολυωνύμων και προσαρτημένων συναρτήσεων του Legendre και η διαδικασία ανάπτυξης εμπειρικών συναρτήσεων σε σειρά σφαιρικών αρμονικών.
Στο έβδομο μέρος γίνεται αναφορά στα προβλήματα των συνοριακών τιμών της θεωρίας του δυναμικού και σε κλασικές μεθόδους επίλυσής τους. Γίνεται διερεύνηση για το μονοσήμαντο των προβλημάτων των συνοριακών τιμών και διατύπωση του προβλήματος του Dirichlet,του Neumann και του μικτού προβλήματος των συνοριακών τιμών. Ακόμη γίνεται αναφορά στην επίλυση τους με τη βοήθεια ολοκληρωματικών τύπων και στις προϋποθέσεις ύπαρξης λύσης.
Τέλος, στο όγδοο μέρος, μετά από μια σύντομη ανασκόπηση των βασικών ιδιοτήτων του πεδίου βαρύτητας της γης και των χρησιμοποιούμενων συστημάτων συντεταγμένων, γίνεται αναφορά στο πρόβλημα των δύο συνοριακών τιμών του Stokes. Η συζήτηση περιορίζεται στον προσδιορισμό του γεωειδούς με δεδομένα της βαρύτητας, που είναι ένα αντιπροσωπευτικό πρόβλημα συνοριακών τιμών, όπου τα δεδομένα μετρούνται σε διαφορετική συνοριακή επιφάνεια από εκείνη στην οποία ζητείται να προσδιοριστεί η τιμή του δυναμικού. Στα πλαίσια αυτής της συζήτησης διατυπώνεται το πρόβλημα των δύο συνοριακών τιμών του Stokes,διερευνώνται οι συνθήκες ύπαρξης λύσης και προτείνονται μέθοδοι για την αντιμετώπισή του.
Στα σημεία, όπου κρίνεται απαραίτητο, παρεμβάλλονται εφαρμογές για να γίνεται κατανοητή η χρησιμότητα της αντίστοιχης ύλης.
Η βιβλιογραφία που παρατίθεται σε καμιά περίπτωση δεν καλύπτει το μεγάλο αριθμό των συγγραμμάτων που ασχολούνται με τη γνωστική αυτή περιοχή. Περιλαμβάνει μόνον τα έργα τα οποία συμβουλεύτηκε ο συγγραφέας. Σχεδόν το σύνολο της θεωρίας και των απόψεων που παρουσιάζονται στο βιβλίο αυτό έχουν δημοσιευτεί στη διεθνή βιβλιογραφία ή σε άρθρα δημοσιευμένα σε συναφή επιστημονικά περιοδικά.
Περιεχόμενα
- Εισαγωγή
- Βασικές έννοιες του διανυσματικού λογισμού – Οι ταυτότητες του Gauss και του Green, το θεώρημα του Stokes
- Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη – Aλγεβρα διανυσμάτων
- Το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόμενο
- Διαφορικός διανυσματικός λογισμός
- Κλίση, Απόκλιση και Περιστροφή
- Ολοκληρωματικός διανυσματικός λογισμός
- Οι ταυτότητες του Gauss και του Green,το θεώρημα του Stokes
- Καμπυλόγραμμες ορθογώνιες συντεταγμένες
- Μετασχηματισμός συντεταγμένων
- Μοναδιαία διανύσματα σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες
- Μήκος τόξου και στοιχειώδης όγκος
- Κλίση, Απόκλιση, Περιστροφή, Λαπλασιανή
- Ειδικές ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες
- Το πεδίο των ελκικών δυνάμεων – Δυναμική
- Το πεδίο των ελκτικών δυνάμεων πεπερασμένων μαζών
- Δυναμικό
- Το δυναμικό διαφόρων κατανομών μάζας
- Ιδιότητες του δυναμικού
- Αρμονικές συναρτήσεις – Κανονικότητα στο άπειρο
- Εφαρμογές
- Ολοκληρωματικοί τύποι
- Φυσική ερμηνεία των ολοκληρωματικών τύπων της θεωρίας του δυναμικού
- Το δυναμικό και οι παράγωγοι του δυναμικού στο εσωτερικό των μαζών
- Εφαρμογές
- Ανάπτυγμα του ελκτικού δυναμικού σε σειρά σφαιρικών και ελλειψοειδών αρμονικών συναρτήσεων
- Ανάπτυγμα του ελκτικού δυναμικού σε σειρά
- Τα πολυώνυμα του Legendre
- Ο ορισμός των σφαιρικών αρμονικών
- Ανάπτυγμα σε σειρά σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεων
- Ελλειψοειδείς αρμονικές συναρτήσεις
- Προβλήματα συνοριακών τιμών
- Διατύπωση των προβλημάτων συνοριακών τιμών
- Λύσεις των τριών προβλημάτων των συνοριακών τιμών
- Προβλήματα συνοριακών τιμών και ολοκληρωματικές εξισώσεις
- Η έννοια της ολοκληρωματικής εξίσωσης
- Η λύση της γραμμικής μη ομογενούς εξίσωσης δεύτερου τύπου του Fredholm
- Απόδειξη της ύπαρξης των λύσεων των προβλημάτων των συνοριακών τιμών
- Το πρόβλημα των δύο συνοριακών τιμών του Stokes για τον προσδιορισμό του γεωειδούς
- Εισαγωγή
- Βασικές ιδιότητες του δυναμικού της βαρύτητας της γης
- Διατύπωση του προβλήματος των συνοριακών τιμών
- Αντιστάθμιση των τοπογραφικών μαζών
- Το διαταρακτικό δυναμικό
- Ο τύπος του Bruns
- Γραμμικοποίηση της συνοριακής συνθήκης
- Οι σφαιρικές αρμονικές πρώτου βαθμού
- Διαφορετικές προσεγγίσεις στη θεμελιώδη εξίσωση της φυσικής γεωδαισίας
