Ανάλυση, Tόμος I

Το βιβλίο ΑΝΑΛΥΣΗ Ι μαζί με το βιβλίο ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ πραγματεύονται τη μελέτη των συναρτήσεων μιας και πολλών μεταβλητών και αποτελούν επεξεργασία και βελτίωση των βιβλίων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι & ΙΙ και ΙΙΙ (εκδόσεων 1989-1996) και είναι εμπλουτισμένα με περισσότερα κατάλληλα επιλεγμένα παραδείγματα. Περιλαμβάνουν την ύλη της ΑΝΑΛΥΣΕΩΣ που διδάσκεται στα Μαθηματικά και Τεχνολογικά Τμήματα των Πανεπιστημίων και Πολυτεχνείων. To βιβλίο απευθύνεται και στους πτυχιούχους των Τμημάτων αυτών που ασκούν ήδη το επάγγελμά τους, γιατί αποτελεί ένα χρήσιμο βιβλίο αναφοράς.

Σε όλο το βιβλίο όταν χρησιμοποιούμε σχέσεις, προτάσεις και έννοιες που είναι γνωστές από το Λύκειο δεν τις σχολιάζουμε, εφόσον θεωρούμε ότι οι σχολικές γνώσεις είναι ικανοποιητικές. Παραθέτουμε πολλά λυμένα παραδείγματα, που η γνώση τους είναι απαραίτητη για την κατανόηση της ύλης. Ορισμένα από αυτά θα μπορούσαν να αποτελούν προτάσεις ή πορίσματα στο αντίστοιχο κεφάλαιο. Πολλές ασκήσεις αποτελούν σημαντικό στοιχείο της ύλης του βιβλίου και γι’ αυτό, όταν είναι απαραίτητο, θα παραπέμπουμε σ’ αυτές. Στο τέλος ορισμένων κεφαλαίων (2, 3, 10 και 11) υπάρχουν παραρτήματα, όπου παρατίθενται αποδείξεις και σχόλια, που θεωρούμε ότι δεν είναι απαραίτητα σε πρώτη ανάγνωση και ενδιαφέρουν εκείνους που θα ήθελαν να εμβαθύνουν στα περιεχόμενα του αντίστοιχου κεφαλαίου.

Στο Κεφ. 1 παραθέτουμε συνοπτικά στοιχεία της Θεωρίας Συνόλων, της Μαθηματικής Λογικής και της έννοιας της απεικονίσεως με στόχο να δώσουμε τους “κανόνες επικοινωνίας” που διέπουν την παρουσίαση της ύλης.

Στο Κεφ. 2 παραθέτουμε τα θεμέλια πάνω στα οποία στηρίζεται η Ανάλυση, που είναι το σύστημα των αξιωμάτων των πραγματικών αριθμών.

Οι ακολουθίες πραγματικών αριθμών παρουσιάζονται στο Κεφ. 3, όπου ορίζονται οι δυνάμεις με πραγματικούς εκθέτες, οι λογάριθμοι και οι πράξεις στο σύνολο R.

Στο Κεφ. 4 σχολιάζουμε την έννοια και τις ιδιότητες των πραγματικών συναρτήσεων, όπου παραθέτουμε τις γραφικές παραστάσεις στοιχειωδών συναρτήσεων. Τα όρια πραγματικών συναρτήσεων και η συνέχειά τους μελετώνται (Κεφ. 5 & 6) και με αναφορά στις ακολουθίες. Παραθέτουμε επίσης πίνακα (§5.5) των ορίων βασικών συναρτήσεων.

Εκτεταμένη μελέτη των παραγώγων, των θεμελιωδών θεωρημάτων και των συνεπειών τους και των εφαρμογών του Διαφορικού Λογισμού (θεωρήματα Rolle και μέσης τιμής, ακρότατα συναρτήσεως, γενικευμένη ανισότητα Bernoulli, Ανισότητα Hölder, θεώρημα Darboux, Τύπος Taylor και θεώρημα Taylor) παρατίθεται στα Κεφ. 7, 8 & 9.

Στο Κεφ. 10 (Ορισμένο Ολοκλήρωμα-Ολοκλήρωμα Riemann) παραθέτουμε μια στοιχειώδη Θεωρία Μέτρου για να διευκολύνουμε την κατανόηση των εφαρμογών του Ολοκληρωτικού Λογισμού αλλά και να τονίσουμε την συνεισφορά του Ευδόξου και του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη της Αναλύσεως.

Οι εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος (εμβαδόν, μήκος τόξου καμπύλης, εμβαδόν επιφάνειας και όγκος από περιστροφή, κέντρο βάρους και έργο δυνάμεως) περιλαμβάνονται στο Κεφ. 11.

Μια ολοκληρωμένη ανάπτυξη των σειρών πραγματικών αριθμών παρατίθεται στο Κεφ. 12 και στο Κεφ. 13 η ανάπτυξη των ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων. Μια πλήρης ανάπτυξη των δυναμοσειρών παρατίθεται στο Κεφ. 14.

Το τελευταίο κεφάλαιο (Κεφ. 15) περιλαμβάνει τα γενικευμένα ολοκληρώματα.

Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν πίνακες των παραγώγων 1ης τάξεως στοιχειωδών συναρτήσεων, των παραγώγων ν-οστής τάξεως ορισμένων συναρτήσεων, των αορίστων ολοκληρωμάτων συναρτήσεων που μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια των μεθόδων ολοκληρώσεως, των ορισμένων ολοκληρωμάτων μερικών συναρτήσεων και των αναπτυγμάτων συναρτήσεων σε δυναμοσειρές.

Περιέχει:

1. Σύνολα, Mαθηματική λογική και Aπεικονίσεις
2. Πραγματικοί αριθμοί
3. Aκολουθίες πραγματικών αριθμών
4. Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής
5. Όρια συναρτήσεων
6. Συνεχείς συναρτήσεις
7. Παράγωγοι συναρτήσεων μιας μεταβλητής
8. Θεμελιώδη θεωρήματα διαφορικού λογισμού
9. Eφαρμογές του διαφορικού λογισμού
10. Oρισμένο ολοκλήρωμα. Oλοκλήρωμα Riemann
11. Eφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος
12. Σειρές πραγματικών αριθμών
13. Aκολουθίες και σειρές συναρτήσεων
14. Δυναμοσειρές
15. Γενικευμένα ολοκληρώματα
16. Πίνακες