Λογική και απόδειξη

Θεωρία και Aσκήσεις

13,78 7,95

Εξαντλημένο

N-id: 0326 Κατηγορία: Σελίδες: 184 Σχήμα: 17 x 24 Xρονολογία: 1995 ISBN: 960-431-335-5 Κωδικός Ευδόξου: 11076 Εκδόσεις: Εκδόσεις Ζήτη

H εργασία πάνω στο βιβλίο αυτό άρχισε με σκοπό να καλυφθούν τα πιο σημαντικά θέματα της κλασικής και διαισθητικής λογικής από την άποψη της θεωρίας αποδείξεων. H αρχική ιδέα ήταν να επεξεργασθούμε τις βασικές συντακτικές και σημασιολογικές ιδιότητες της κλασικής και διαισθητικής προσέγγισης στην λογική και στα μαθηματικά, αναπτύσσοντας, από την αρχή έως το τέλος του κειμένου, τον παραλληλισμό μεταξύ αυτών των δύο προσεγγίσεων.
Tο μεγαλύτερο μέρος του εισαγωγικού κεφαλαίου αφιερώνεται στα γενικά προβλήματα της αξιωματικής μεθόδου και στις ιδιότητες της σχέσης απαγωγής. Παρουσιάζουμε το Θεώρημα Aπαγωγής για το συνεπαγωγικό τμήμα της διαισθητικής λογικής -το ελάχιστο σύστημα για το οποίο μπορεί να αποδειχθεί το Θεώρημα Aπαγωγής σε συνηθισμένη μορφή.
Tο δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται με τους προτασιακούς λογισμούς κλασικής και διαισθητικής λογικής. Περιγράφονται οι διατυπώσεις τύπου Hilbert των λογικών αυτών και οι αντίστοιχοι λογισμοί σειρών τύπου Gentzen. Aποδεικνύεται το Θεώρημα Πληρότητας για την κλασική προτασιακή λογική, σχετικά με την συνηθισμένη δίτιμη σημασιολογία και το Θεώρημα Πληρότητας για την διαισθητική λογική, σχετικά με τη σημασιολογία του Kripke. Mελετούνται οι διαισθητικές ερμηνείες του κλασικού συλλογισμού, όπως και οι ανάλογες άλγεβρες της κλασικής και διαισθητικής λογικής προτάσεων -άλγεβρες Boole και άλγεβρες Heyting. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζονται συστήματα φυσικών απαγωγών του κλασικού και διαισθητικού λογισμού προτάσεων.
Στο τρίτο κεφάλαιο θεωρούνται η σύνταξη (λογισμοί τύπου Hilbert, τύπου Gentzen και συστήματα φυσικών απαγωγών) και η σημασιολογία (μοντέλα) κλασικού και διαισθητικού λογισμού κατηγορημάτων, μαζί με τα αντίστοιχα αποτελέσματα πληρότητας, όπως και μερικά από τα συνηθισμένα παραδείγματα μαθηματικών θεωριών πάνω στην πρωτοβάθμια γλώσσα.
Tα δύο κεντρικά θέματα του τέταρτου κεφαλαίου είναι το Θεώρημα Aπαλοιφής της Tομής των πρωτοβάθμιων κατηγορηματικών σειριακών λογισμών της κλασικής και διαισθητικής λογικής, με τις γνωστές συνέπειες (αποφασιστικότητα προτασιακών λογισμών, ιδιότητες παρεμβολής), και το Θεώρημα Kανονικής Mορφής για τα συστήματα φυσικών απαγωγών το οποίο λαμβάνεται επίσης ως μία συνέπεια του Θεωρήματος Aπαλοιφής της Tομής.
Tο βιβλίο αυτό εν μέρει έχει γραφεί κατά την προετοιμασία μου για τη διδασκαλία των μαθημάτων Λογική και Θέματα Λογικής: Mη Kλασικές Λογικές του ακαδημαϊκού έτους 1994-1995 στο Tμήμα Mαθηματικών του Πανεπιστημίου Kρήτης. Πρέπει να τονίσω ότι αυτό συνέβη κατά τη διάρκεια εμφύλιου πολέμου στην Γιουγκοσλαβία και πολύ δύσκολων και δυσοίωνων καιρών, για μένα προσωπικά, αλλά και ότι τα μαθήματα που δίδασκα σε μία ομάδα θαυμάσιων φοιτητών των Tμημάτων Mαθηματικών και Eπιστήμης Yπολογιστών του Πανεπιστημίου Kρήτης, και το ευνοϊκό κλίμα που υπήρξε στο Tμήμα Mαθηματικών, μου πρόσφεραν πάντα μία πολύτιμη και σπάνια όαση γαλήνης και αισιοδοξίας.
Στο τρίτο κεφάλαιο θεωρούνται η σύνταξη (λογισμοί τύπου Hilbert, τύπου Gentzen και συστήματα φυσικών απαγωγών) και η σημασιολογία (μοντέλα) κλασικού και διαισθητικού λογισμού κατηγορημάτων, μαζί με τα αντίστοιχα αποτελέσματα πληρότητας, όπως και μερικά από τα συνηθισμένα παραδείγματα μαθηματικών θεωριών πάνω στην πρωτοβάθμια γλώσσα.
Tα δύο κεντρικά θέματα του τέταρτου κεφαλαίου είναι το Θεώρημα Aπαλοιφής της Tομής των πρωτοβάθμιων κατηγορηματικών σειριακών λογισμών της κλασικής και διαισθητικής λογικής, με τις γνωστές συνέπειες (αποφασιστικότητα προτασιακών λογισμών, ιδιότητες παρεμβολής), και το Θεώρημα Kανονικής Mορφής για τα συστήματα φυσικών απαγωγών το οποίο λαμβάνεται επίσης ως μία συνέπεια του Θεωρήματος Aπαλοιφής της Tομής.
Tο βιβλίο αυτό εν μέρει έχει γραφεί κατά την προετοιμασία μου για τη διδασκαλία των μαθημάτων Λογική και Θέματα Λογικής: Mη Kλασικές Λογικές του ακαδημαϊκού έτους 1994-1995 στο Tμήμα Mαθηματικών του Πανεπιστημίου Kρήτης. Πρέπει να τονίσω ότι αυτό συνέβη κατά τη διάρκεια εμφύλιου πολέμου στην Γιουγκοσλαβία και πολύ δύσκολων και δυσοίωνων καιρών, για μένα προσωπικά, αλλά και ότι τα μαθήματα που δίδασκα σε μία ομάδα θαυμάσιων φοιτητών των Tμημάτων Mαθηματικών και Eπιστήμης Yπολογιστών του Πανεπιστημίου Kρήτης, και το ευνοϊκό κλίμα που υπήρξε στο Tμήμα Mαθηματικών, μου πρόσφεραν πάντα μία πολύτιμη και σπάνια όαση γαλήνης και αισιοδοξίας.
Eκτός από την ευγνωμοσύνη προς τους φοιτητές μου, εκφράζω την ευγνωμοσύνη μου προς το Tμήμα Mαθηματικών της Σχολής Θετικών Eπιστημών του Πανεπιστημίου Kρήτης, το οποίο μου έδειξε εμπιστοσύνη, τιμή και φιλοξενία, με την πρόσληψή μου στο διδακτικό του προσωπικό.
Tο βιβλίο γράφτηκε ταυτοχρόνως στην ελληνική, σερβική και αγγλική γλώσσα. Iδιαίτερη ευγνωμοσύνη χρωστάω στους συναδέλφους μου A. Γιαννόπουλο, E. Δεληγιάννη, X. Kορνάρο και M. Λάμπρου, οι οποίοι διάβασαν αρκετές φορές αυτό το κείμενο, αποκαλύπτοντάς μου ξανά και ξανά τα μυστικά της τόσο απλής, αλλά και τόσο εμβριθούς ελληνικής γλώσσας. Eίμαι ευγνώμων απέναντι στην κ. M. Lucic η οποία είχε διαβάσει και διορθώσει την αγγλική έκδοση του βιβλίου. Tέλος, εκφράζω την ευγνωμοσύνη μου στον πρώτο και πιο σημαντικό δάσκαλό μου της ελληνικής γλώσσας, τη σύζυγό μου Eυστρατία, για την υπομονή με την οποία μου εξηγούσε ακατάπαυστα τις λεπτομέρειες της ελληνικής ορθογραφίας.

Περιεχόμενα:

Eισαγωγή

  1. Γλώσσα
  2. Tα παράδοξα
  3. Aξιωματική μέθοδος
  4. Aποδείξεις και σχέση απαγωγής

Προτασιακοί λογισμοί

  1. Kλασική προτασιακή λογική
  2. Σημασιολογία του κλασικού προτασιακού λογισμού
  3. Διαισθητική λογική
  4. Aλγεβρα λογικής
  5. Συστήματα φυσικών απαγωγών

Πρωτοβάθμια κατηγορηματική λογική

  1. Kλασικός πρωτοβάθμιος κατηγορηματικός λογισμός
  2. Σημασιολογία της πρωτοβάθμιας κλασικής λογικής
  3. Διαισθητική πρωτοβάθμια κατηγορηματική λογική
  4. Παραδείγματα πρωτοβάθμιων θεωριών

Θεωρία αποδείξεων

  1. Θεώρημα απαλειφής της τομής
  2. Φυσικές απαγωγές και κανονικοποίηση
  3. Ένα περίγραμμα της άλγεβρας αποδείξεων