Εισαγωγή στη Θεωρία του Δυναμικού

Η εισαγωγή στη θεωρία του δυναμικού απευθύνεται στους φοιτητές και φοιτήτριες των προπτυχιακών και μεταπτυχιακών Τμημάτων Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών του ΑΠΘ, του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου (ΕΜΠ) και άλλων συναφών πανεπιστημιακών Τμημάτων και έχει στόχο την υποστήριξη των γνωστικών περιοχών οι οποίες ασχολούνται με τη μελέτη του πεδίου βαρύτητας.
Είναι προφανής η δυσκολία να γραφτεί σήμερα ένα βιβλίο σχετικά με τη θεωρία του δυναμικού, όταν στη διεθνή βιβλιογραφία υπάρχουν πάρα πολλά συγγράμματα, τα οποία θεωρούνται κλασικά έργα. Η προσπάθεια αυτή έγινε, επειδή στην ελληνική βιβλιογραφία δεν υπάρχει ένα βοήθημα το οποίο να συγκεντρώνει το απαραίτητο υλικό, ώστε να χρησιμεύσει ως θεωρητικό υπόβαθρο για τη μελέτη του πεδίου βαρύτητας.
Η ύλη διαιρείται σε έξι μέρη. Στο πρώτο μέρος γίνεται μια επανάληψη του Διανυσματικού Λογισμού, με έμφαση στις ιδιότητες του διαφορικού διανυσματικού τελεστή “ανάδελτα” και στη φυσική σημασία της εφαρμογής του σε βαθμωτές και διανυσματικές συναρτήσεις. Στο ίδιο μέρος περιλαμβάνονται οι ταυτότητες του Gauss, του Green και το θεώρημα του Stokes.
Oο ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες εξετάζονται στο δεύτερο μέρος, το οποίο μετά από τα γενικά εστιάζεται στη μελέτη των τριών ειδικών ορθογώνιων καμπυλόγραμμων συντεταγμένων, οι οποίες είναι χρήσιμες π.χ. στην αναγωγή του πεδίου βαρύτητας σε ορισμένο ύψος επάνω από την επιφάνεια αναφοράς, των σφαιρικών, οι οποίες βρίσκουν ευρεία εφαρμογή σε όλες τις περιπτώσεις σφαρικής προσέγγισης του πεδίου βαρύτητας, και των ελλειψοειδών, οι οποίες είναι απαραίτητες στη δημιουργία μοντέλων βαρύτητας.
H εισαγωγή στη θεωρία του δυναμικού γίνεται στα υπόλοιπα τέσσερα μέρη. Συγκεκριμένα, στο τρίτο μέρος εξετάζεται η ελκτική δύναμη ανάμεσα στις μάζες για σημειακή κατανομή, πεπερασμένο αριθμό σημειακών μαζών, συνεχή κατανομή μάζας στο χώρο, κατανομή απλού και διπλού στρώματος. Eισάγεται η έννοια του δυναμικού και εξετάζονται οι ιδιότητες του δυναμικού και της έλξης στο χώρο έξω από τις μάζες.
Στυο τέταρτο μέρος γίνεται προσπάθεια ερμηνείας των ολοκληρωματικών τύπων της θεωρίας του δυναμικού και εξετάζονται οι ιδιότητες του δυναμικού και των παραγώγων του πρώτης και δεύτερης τάξης για τις ίδιες κατανομές μάζας, που αναφέρθηκαν προηγουμένως, στο χώρο μέσα στις μάζες ή επάνω στην επιφάνεια που τις περικλείει.
Στο πέμπτο μέρος αναλύεται η διαδικασία ανάπτυξης του δυναμικού σε σειρά σφαιρικών και ελλειψοειδών αρμονικών συναρτήσεων. Mε αφετηρία την ανάπτυξη του αντιστρόφου της απόστασης μεταξύ δύο σημείων σε σειρά δυνάμεων γίνεται παρουσίαση των σφαιρικών αρμονικών ως λύσεων της εξίσωσης του Laplace και της ανάπτυξης σε σειρά σφαιρικών αρμονικών. Παρουσιάζονται τύποι για τον υπολογισμό πολυωνύμων και προσαρτημένων συναρτήσεων του Legendre και η διαδικασία ανάπτυξης εμπειρικών συναρτήσεων σε σειρά σφαιρικών αρμονικών.
Tέλος, στο έκτο μέρος γίνεται αναφορά στα προβλήματα των συνοριακών τιμών της θεωρίας του δυναμικού και σε κλασικές μεθόδους επίλυσής τους. Γίνεται διερεύνηση για το μονοσήμαντο των προβλημάτων των συνοριακών τιμών και διατύπωση του προβλήματος του Dirichlet, του Neumann και του μικτού προβλήματος των συνοριακών τιμών. Aκόμη γίνεται αναφορά στην επίλυση με τη βοήθεια ολοκληρωματικών τύπων και στις προϋποθέσεις ύπαρξης λύσης. Δεν γίνεται αναφορά στις αναγωγές που απαιτούνται για τον ακριβή προσδιορισμό του γεωειδούς ή στο διπλό πρόβλημα των συνοριακών τιμών, θέματα τα οποία αναπτύσσονται στα πλαίσια άλλων μαθημάτων, όπως “Bαρυτημερία”, η “Φυσική Γεωδαισία” κ.λπ.
Στα σημεία, όπου κρίνεται απαραίτητο, παρεμβάλλονται εφαρμογές για να γίνεται κατανοητή η χρησιμότητα της αντίστοιχης ύλης.
Tο βιβλίο περιορίζεται στην κλασική ανάπτυξη της θεωρίας του δυναμικού. Δίνεται έμφαση στους ορισμούς, στις έννοιες, στις προϋποθέσεις με τις οποίες ισχύουν οι διάφορες ιδιότητες, και στις αποδεικτικές διαδικασίες.
H βιβλιογραφία που παρατίθεται σε καμιά περίπτωση δεν καλύπτει το μεγάλο αριθμό των συγγραμμάτων που ασχολούνται με τη γνωστική αυτή περιοχή. Περιλαμβάνει μόνο τα έργα τα οποία συμβουλεύτηκε ο συγγραφέας. Oρισμένων από αυτά έγινε εκτεταμένη χρήση.

Περιέχει:

1. Βασικές έννοιες του διανυσματικού λογισμού – οι ταυτότητες του Gauss και του Green, το θεώρημα του Stokes
2. Καμπυλόγραμμες ορθογώνιες συντεταγμένες
3. Το πεδίο των ελκτικών δυνάμεων – Δυναμικό
4. Ολοκληρωματικοί τύποι
5. Ανάπτυγμα του ελκτικού δυναμικού σε σειρά σφαιρικών και ελλειψοειδών αρμονικών συναρτήσεων
6. Προβλήματα συνοριακών τιμών